Álgebra Lineal Mora (115)

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Álgebra lineal
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el plano es una transformación que fi ja a los puntos de la recta W y a un vector 
u � 0, perpendicular a W, lo transforma en su negativo. Ver la fi gura 4.3.
Algebraicamente y con base en las ideas geométricas, esto se puede representar 
como:
 T v v
v u
u u
u( )
,
,
� �2 (4.4)
pues dado un vector v, la proyección ortogonal de v a lo largo de u está dada por 
v u
u u
u
,
,
(defi nición 3.3.4, página 96), esto y un argumento geométrico muestra la razón de la 
ecuación anterior.
Ejemplo 4.2.1. Encuentre una expresión para la refl exión del plano en el plano a 
través de la recta de ecuación y � 2x.
Discusión. De acuerdo con la ecuación 4.4, debemos encontrar un vector u per-
pendicular a la recta de ecuación y � 2x. De hecho, para facilitar los cálculos propon-
dremos un vector u de norma uno. Sea u � 
1
5
2 1( , )� y pongamos v � (x, y). Usando 
la ecuación 4.4 para determinar la refl exión buscada se obtiene:
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
T(v)
v
�1
�2
�3
�1�2�3
W
u
T(u)��uFigura 4.3. Refl exión a través del 
subespacio W.
T(x, y) � (x, y) � 2〈(x, y), 1
5
2 1
1
5
2 1( , ) ( , )� �
� (x, y) � 
2
5 
(2x � y)(2, �1)
� (x, y) � 
4
5
2
2
5
2( ), ( )x y x y� � �
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
� 
1
5 
(�3x 	 4y, 4x 	 3y)