Álgebra Lineal Mora (117)

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Álgebra lineal
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Si u está representado en forma cartesiana, digamos u � (x, y), entonces Tω(x, y) se 
obtiene de:
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
�1
�2
�3
�1�2�3
�
�
T�(u)
u
Figura 4.4. Rotación un ángulo ω.
T x y
x
ω
ω ω
ω ω
( , )
cos( ) ( )
( ) cos( )
�
�sen
sen
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ yy
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 
�
�
	
x y
x y
cos( ) ( )
( ) cos( )
ω ω
ω ω
sen
sen
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Este resultado de pareja ordenada toma la forma: 
 Tω(x, y) � (x cos(ω) � y sen(ω), x sen (ω) 	 y cos(ω)) (4.8)
Ejemplo 4.2.2. Describa algebraicamente la transformación que rota al plano un 
ángulo de 
�
4
 radianes.
Discusión. De acuerdo con la ecuación 4.2, la transformación buscada es:
Tπ/4(x, y) � (x cos(π/4) � y sen(π/4), x sen (π/4) 	 y cos(π/4) � 
1
2
( , )x y x y� 	 )
Resuelva los siguientes ejercicios.
Ejercicio 4.2.1.
 1. Demuestre que las rotaciones y refl exiones son transformaciones lineales.
 2. Describa el efecto geométrico de componer una rotación y una refl exión.
 3. Defi na una translación. ¿Es transformación lineal?
 4. Se defi ne un movimiento rígido del plano en el plano como una función f : R2 → R2 
que preserva la norma de los vectores, es decir, 〈α, α〉 � 〈f(α), f(α)〉 para todo α ∈R2. 
Demuestre que las rotaciones, refl exiones y traslaciones son movimientos rígidos.
 5. Considere un cuadrado C de lados paralelos a los ejes y la transformación T(x, y) 
� (2x 	 y, x 	 y). Encuentre la imagen de C bajo T.
 6. Encuentre la imagen de una recta bajo la transformación del ejercicio anterior.