Álgebra Lineal Mora (118)

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Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
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4.3. Rango y núcleo de una transformación lineal
Dada una transformación lineal, hay dos subespacios relacionados con ella que resul-
tan ser de importancia para determinar sus propiedades.
Defi nición 4.3.1. Sea T : V → W una transformación lineal. Defi nimos el núcleo o 
kernel de T como el conjunto NT � {α ∈ V | T(α) � 0}. La imagen o rango de T, denotada 
RT se defi ne como RT � {β ∈ W existe un α ∈ V y satisface T(α) � β}.
Ejercicio 4.3.1. Demuestre que el núcleo y el rango de una transformación lineal 
son subespacios.
Ejercicio 4.3.2. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales, encuen-
tre su núcleo y rango.
 1. Sea T : R2 → R2 defi nida por T(x, y) � (x � y, 3x 	 2y).
 2. Sea n un entero positivo, V el espacio de los polinomios de grado � n y T la fun-
ción defi nida por T(p(x)) � p′(x), con p′(x) la derivada de p(x).
 3. Sea T : Rn → R defi nida por T(x1, x2, ..., xn) � x1, 	 x2 	 x3 	 · · · 	 xn.
 4. Sea V el espacio de las matrices 2 � 2 y A � 
 1 2
 0 1 . Se defi ne TA : V → V por TA(X) � 
AX, en donde X �
 x y
 z w . 
Ejercicio 4.3.3. Revise las defi niciones de función inyectiva y suprayectiva. Demues-
tre lo siguiente acerca de una transformación lineal T.
 1. La transformación lineal T es inyectiva ⇔ NT � {0}.
 2. La transformación lineal T es suprayectiva ⇔ RT � W.
Defi nición 4.3.2. Sean V y W espacios vectoriales, T : V → W una transformación lineal.
 1. Si T es inyectiva, se dice que es no singular.
 2. Si T es biyectiva se dice que T es un isomorfi smo y decimos que V es isomorfo a W, 
denotando esto por V � W.
Los siguientes son dos de los teoremas más importantes en la teoría de espacios 
vectoriales de dimensión fi nita. Las demostraciones estarán a cargo del lector y se 
darán algunas sugerencias en los ejercicios al fi nal de este capítulo.
Teorema 4.3.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces V � Rn.
Teorema 4.3.2. Sean V y W espacios vectoriales con V fi nitamente generado, T : V → W 
una transformación lineal, entonces la siguiente ecuación se cumple.
 dim (V) � dim (NT) 	 dim (RT) (4.9)
Ejercicio 4.3.4. Sean m y n dos enteros positivos diferentes. Demuestre lo siguiente.
 1. Si m � n, entonces no existe una transformación lineal T : Rn → Rm inyectiva.
 2. Si n � m, entonces no existe una transformación lineal T : Rn → Rm suprayectiva.
 3. Use los ejercicios anteriores para concluir que Rn � Rm si y sólo si n � m. En el 
siguiente ejercicio probará este hecho de manera más general.
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