Álgebra Lineal Mora (120)

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Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
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De esto obtenemos que la matriz buscada es A � 
 2 1
 1 �1
 4 �3
 1 0
 0 1
Ejemplo 4.4.2. Sean α1 � (1, 1) y α2 � (3, �2). Justifi que que {α1, α2} es una base de 
R2. De acuerdo con el teorema 4.1.2, existe una única transformación lineal T : R2 → R2 
tal que T(α1) � (4, 5) y T(α2) � (6, �1). Encuentre la matriz asociada a T respecto a la 
base canónica de R2.
Desarrollo. Verifi que que los vectores α1 � (1, 1) y α2 � (3, �2) forman una base de 
R2. Para determinar la matriz de T respecto a la base canónica, debemos determinar 
T(e1) � (a, b) y T(e2) � (c, d), usando las ecuaciones T(1, 1) � T(e1) 	 T(e2) y T(3, �2) � 
3T(e1) � 2T(e2). Estas condiciones se traducen a: (4, 5) � (a 	 c, b 	 d) y (6, �1) � (3a � 
2c, 3b �2d), y de esto se tiene el sistema:
 a 	 c � 4
 b 	 d � 5
3a � 2c � 6
 3b � 2d � �1
Resolviendo este sistema se encuentra T(e1) = 
 
14
5 
, 
9
5
 y T(e2) = 
6
5 
, 
16
5 
, de lo cual 
la matriz asociada a T respecto a la base canónica es:
 A � 
14 6
 5 5 
 9 16
 5 5
Con la información anterior se tiene que la expresión que defi ne a T(x, y) se calcula 
mediante el producto de matrices:
AX � 
14
5
6
5
9
5
16
5
14⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
x
y
�
55
6
5
9
5
16
5
x y
x y
	
	
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
 
De esto se concluye que T(x, y) � 
14
5
6
5
9
5
16
5
x y x y	 	,
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Ejercicio 4.4.1. Sea Pn el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual 
que n, D el operador derivación de Pn en Pn, es decir, D(p(x)) � p′(x). Decida si D es una 
transformación lineal y encuentre la matriz asociada a D respecto a la base {1, x, x2, ..., 
xn}. ¿Cuál es el núcleo e imagen de D?
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