Álgebra Lineal Mora (121)

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Álgebra lineal
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En diferentes problemas, la idea de composición de funciones emerge como una 
herramienta para formular y entender los procesos involucrados. En situaciones rela-
cionadas con transformaciones lineales la situación es como sigue.
Supongamos que V, W y U son tres espacios vectoriales, T : V → W y T1 : W → U 
transformaciones lineales, entonces tiene sentido formar la función T1 
� T : V → U la 
cual resulta ser lineal.
En efecto, si α, β ∈V entonces (T1 � T) (α 	 β) � T1(T(α 	 β)) � T1(T(α) 	 T(β)) � 
T1(T(α)) 	 T1(T(β)) � (T1 � T)(α) 	 (T1 � T)(β).
De manera similar se demuestra que (T1 
� T)(aα) � a(T1 � T)(α). Esto prueba lo 
afi rmado.
Sean V, W y U espacios vectoriales con bases {α1, α2, ..., αn}, {β1, β2, ..., βm} y {γ1, γ2, 
..., γr} respectivamente. Si T : V → W y T1 : W → U son dos transformaciones lineales, y 
A[α, β] y B[β, �] son las matrices asociadas a T y T1 respecto a las correspondientes bases, 
se pregunta, ¿cuál es la matriz asociada a T1 
� T respecto a las bases {α1, α2, ..., αn} y 
{γ1, γ2, ..., γr}? 
Para determinar la matriz asociada a T1 
� T debemos evaluar a T1 
� T en cada uno 
de los elementos de la base {α1, α2, ..., αn} y expresar el resultado como combinación 
lineal de los elementos de la base {γ1, γ2, ..., γr}.
Supongamos que las matrices A[α, β] y B[β, �] tienen entradas aij y bts respectivamente. 
Llamemos C a la matriz asociada a T1 
� T respecto a las bases {α1, α2, ..., αn} y {γ1, γ2, ..., 
γr}. Note que la matriz C es de orden r � n y sus entradas satisfacen:
 (T1 
� T)(αj) � c1jγ1 	 c2jγ2 	 · · · 	 crjγr (4.11)
Usando la defi nición de composición de funciones y de matriz asociada se tiene:
 (T1 
� T)(αj) � T1(T(αj)
 � T1(a1jβ1 	 a2jβ2 	 · · · 	 amjβm)
 � a1jT1(β1) 	 a2jT1(β2) 	 · · · 	 amjT1(βm)
 � a b a bj t t
t
r
j t t
t
r
1 1
1
2 2
1
� 	 � 	
� �
∑ ∑⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
···		 �
�
a bmj tm t
t
r
1
∑⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
 � b a b ak kj
k
m
k kj
k
m
1
1
1 2
1
2
� �
� 	 � 	∑ ∑⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
···		 �
�
b ark kj
k
m
r
1
∑⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
Igualando términos con la ecuación 4.11 y usando el hecho que la representación 
de un vector en una base es única se llega a:
cij � bi1a1j 	 bi2a2j 	 · · · 	 bimamj, para todo i y para todo j
es decir, la matriz asociada a T1 
� T es B[β, γ]A[α, β]
La discusión anterior la formalizamos en el siguiente:
Teorema 4.4.1. Sean U, V y W espacios vectoriales con bases {α1, α2, ..., αn}, {β1, β2, ..., 
βm} y {γ1, γ2, ..., γr} respectivamente. Si T : V → W y T1 : W → U son dos transformaciones 
lineales, y A[α, β] y B[β, γ] son las matrices asociadas a T y T1 respecto a las bases dadas, en-
tonces la matriz asociada a T1 
� T es B[β, γ]A[α, β].
El lector está invitado a explicar los detalles en los argumentos anteriores.