Álgebra Lineal Mora (122)

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Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
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4.4.1. Matrices de cambio de base
Cuando se elige una base en R2, se ha defi nido un sistema de referencia. Por ejem-
plo, cuando tomamos la base canónica y representamos un vector de R2 en la forma α 
� (x, y), lo que esto signifi ca es que para llegar al punto que determina al vector α, se 
debe uno desplazar desde el origen x unidades en la dirección del vector e1 � (1, 0) y 
y unidades en la dirección del vector e2 � (0, 1). Sin embargo, para llegar al punto que 
determina al vector α, pudimos haber elegido otro sistema de referencia. Por ejemplo 
los vectores α1 � (3, 2) y α2 � (1, 3/2). Entonces para llegar al punto α habrá que despla-
zarse x1 unidades en la dirección del vector α1 y y1 unidades en la dirección del vector 
α2. A la pareja de números x1 y y1 les llamamos las coordenadas de α respecto a la base 
{α1 � (3, 2), α2 � (1, 3/2)}.
Ejercicio 4.4.2. Haga un dibujo que ilustre lo discutido en el párrafo anterior.
Una pregunta interesante es: ¿Cuál es la relación que hay entre las coordenadas de 
α respecto a la base canónica y respecto a la base {α1 � (3, 2), α2 � (1, 3/2)}?
Para contestar esta pregunta introduciremos la idea de matriz de cambio de 
base. Supongamos que se tienen un espacio vectorial V y dos bases: {α1, α2, ..., αn} y ,
{ α α α1 2′ ′ ′, , K n } entonces cada uno de los elementos α j′ se puede expresar como com-
binación lineal de los elementos α1, α2, ..., αn es decir, existen escalares p1j, p2j, ..., pnj, 
tales que α j′ � p1jα1 	 p2jα2 	 · · · 	 pnjαn. Con estos coefi cientes se forma la matriz:
 P � 
p11 p12 · · · p1n
p21 p22 · · · p2n
pn1 pn2 · · · pnn
· · ·
· · ·
· · ·
· · · 
tomando los coefi cientes de cada α j′ , para obtener la columna j-ésima.
Defi nición 4.4.2. Con la notación e hipótesis como antes, a la matriz P se le llama la 
matriz que cambia la base {α1, α2, ..., αn} a la base {α α α1 2′ ′ ′, , K n }.
Observación 4.4.1. Dado que {α α α1 2′ ′ ′, , K n } también es base, cada αj se puede ex-
presar como combinación lineal de los { α α α1 2′ ′ ′, , K n } y se obtiene una matriz Q, la cual 
es la inversa de P.
Ejercicio 4.4.3. Justifi car la observación anterior.
Para contestar la pregunta sobre la relación que hay entre las coordenadas del vec-
tor α en la base canónica de R2 y en la base {α1 � (3, 2), α2 � (1, 3/2)}, procederemos de 
forma general y después aplicaremos el método al caso que corresponde. Antes preci-
saremos lo que entenderemos por coordenadas respecto a una base.
Sea V un espacio vectorial, {α1, α2, ..., αn} una base de V. Sabemos que para todo 
α ∈ V existen únicos escalares x1, x2, ..., xn tales que:
 α � x1α1 	 x2α2 	 · · · 	 xnαn (4.12)
Defi nición 4.4.3. Sean V, {α1, α2, ..., αn} y α ∈ V como en la discusión previa, A los 
escalares x1, x2, ..., xn que aparecen en (4.12) les llamamos las coordenadas de α respecto 
a la base {α1, α2, ..., αn} .
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 4 Transformaciones lineales y matrices
	4.4. Matrices y transformaciones lineales
	4.4.1. Matrices de cambio de base