Álgebra Lineal Mora (123)

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Álgebra lineal
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Observación 4.4.2. Si x1, x2, ..., xn son las coordenadas del vector α respecto a la base 
B � {α1, α2, ..., αn}, la cual suponemos fi ja, construimos el vector X � (x1, x2, ..., xn) en R
n 
y le llamamos el vector coordenado de α respecto a la base B. Al vector X también lo po-
demos considerar como vector columna, y así lo haremos en lo que sigue.
Sean {α1, α2, ..., αn} y { α α α1 2′ ′ ′, , K n } bases de V. Dado α ∈ V, éste se puede represen-
tar como �� �
�
xi i
i
n
1
∑ y como �� �
�
yi i
i
n
1
∑ . Si P es la matriz que cambia la base {α1, α2, ..., 
αn} a la base { α α α1 2′ ′ ′, , K n }, mostraremos que X � PY, en donde X es el vector coorde-
nado de α respecto a la base {α1, α2, ..., αn} y Y es el vector coordenado de α respecto a 
la base {α α α1 2′ ′ ′, , K n }.
Por cuestiones de notación, representemos la relación entre los elementos de las 
bases mediante la ecuación “matricial”:
 
�1
′ 
�2
′
�n
′
· · ·�
p11 p21 · · · pn1
p21 p22 · · · pn2
pn1 p2n · · · pnn
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
�1 
�2 
�n 
· · · (4.13)
Note que el primer factor en la ecuación anterior es Pt.
En forma análoga, podemos representar al vector α usando sus vectores coorde-
nados respecto a cada base.
 α � �x1 x2 · · · xn	 
�1 
�2 
�n 
· · · � �y1 y2 · · · yn	 
�1
′ 
�2
′
�n
′
· · ·
De la ecuación 4.13 se tiene:
α � �x1 x2 · · · xn	 
�1 
�2 
�n 
· · · � �y1 y2 · · · yn	 
p11 p21 · · · pn1
p12 p22 · · · pn2
p1n p2n · · · pnn
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
�1 
�2 
�n 
· · ·
Como la representación de un vector respecto a una base es única, se concluye que 
Xt � Y tP t, equivalentemente,
 X � PY (4.14)
Como P es una matriz que tiene inversa, la ecuación X � PY es equivalente a 
P�1X � Y, es decir, las coordenadas de α respecto a la nueva base { α α α1 2′ ′ ′, , K n } se 
obtienen de la ecuación P�1X � Y.
La pregunta que dió origen a la discusión previa la podemos contestar de la siguien-
te forma. Debemos encontrar la inversa de la matriz que cambia la base canónica a 
la base {(3, 2), (1, 3/2)}. Tal matriz es: P � 
 3 1
 2 
3
2
. A partir de esto se encuentra que 
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