Álgebra Lineal Mora (124)

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Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
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P–1 � 
3
5 
 �
2
5
�
4
5 
 
6
5
. Si Y es el vector coordinado de α respecto a la base {(3, 2), (1, 3/2} y X es 
el vector coordenado de α respecto a la base canónica, entonces Y � P�1X � 
3
5 
 �
2
5
�
4
5 
 
6
5
 X, 
equivalente, y1 � 
3
5
x1 �
2
5
x2 y y2 � �
4
5
x1 	
6
5
x2.
Ejemplo 4.4.3. Dada la base canónica {e1, e2, e3} de R
3, encuentre las coordenadas del 
vector α � e1 � 2e2 	 5e3 respecto a la base {(1, 2, 0), (1, �1, 0), (1, 1, 1)}.
Discusión. La matriz de cambio de base es P � 
 1 1 1
 2 �1 1
 0 0 1
; usando algún método 
para calcular inversas se encuentra que:
P–1 � 
 
1
3 
1
3 
�
2
3
 2
3 
�
1
3 
�
1
3
 0 0 1
De esto se tiene que las coordenadas de α respecto a la nueva base están dadas por
 Y � 
y1
y2
y3
 � 
 
1
3 
1
3 
�
2
3
 2
3 
�
1
3 
�
1
3
 0 0 1
 
1
�2
3
 � 
�
11
3
 �
1
3
 5
La ecuación anterior expresa las coordenadas de (1, –2, 5) respecto a la base:
{(1, 2, 0), (1, �1, 0), (1, 1, 1)}, es decir, (1, �2, 5) � �11
3
 (1, 2, 0) � 1
3 
(1, �1, 0) 	 5(1, 1, 1)
En muchas aplicaciones es importante encontrar una matriz, lo más simple posi-
ble, que represente a una transformación lineal T : V → W. Esto por supuesto depen-
de de poder elegir adecuadamente bases en los espacios V y W. Sabemos que dadas 
bases en V y W, T tiene asociada una matriz, más precisamente, si {α1, α2, ..., αn} y 
{β1, β2, ..., βm} son bases de V y W respectivamente, la matriz asociada a T queda defi -
nida. Al cambiar a nuevas bases, digamos { �1′ , �2′ , ..., �n′ } y {�1′ , �2′ , ..., �m′ }, en estas 
nuevas bases, T tiene asociada una matriz, B. ¿Cuál es la relación entre las matrices A, 
B y las matrices de cambio de base? La respuesta la proporciona el siguiente teore-
ma, cuya demostración dejamos como ejercicio.
Teorema 4.4.2. (Cambio de base). Sea T : V → W una transformación lineal. Su-
pongamos que A es la matriz asociada a T respecto a bases dadas {α1, α2, ..., αn} en V y 
{β1, β2, ..., βm} en W. Si las bases anteriores se cambian a nuevas bases { �1′ , �2′ , ..., �n′ } 
y {�1′ , �2′ , ..., �m′ }, con matrices de cambio de base P y Q respectivamente y B es la ma-
triz asociada a T en estas nuevas bases, entonces se tiene:
B � Q�1AP.
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