Álgebra Lineal Mora (125)

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Álgebra lineal
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Demostración. Ejercicio.
Corolario 4.4.1. Si T : V → V es una transformación lineal, αi � βi y �i′ � �i′ para 
todo i � 1, 2, ..., n, entonces la matriz asociada a T respecto a la nueva base es P�1AP, P 
la matriz de cambio de base. 
Defi nición 4.4.4. Sean A y B dos matrices n � n. Se dice que B es similar o semejante 
a A, si existe una matriz no singular P tal que B � P�1AP.
Ejercicio 4.4.4. Demuestre lo siguiente.
 1. Toda matriz es similar a sí misma (refl exividad).
 2. Si B es similar a A, entonces A es similar a B (simetría).
 3. Si C es similar a B y B es similar a A, entonces C es similar a A (transitividad).
Ejemplo 4.4.4. Sea T : R3 → R3 dada por T(x, y, z) � (x 	 y � z, 2x � y 	 3z, x � z) 
encuentre la matriz asociada a T respecto a la base {(1, 2, 0), (1, �1, 0), (1, 1, 1)}.
Discusión. Primero encontramos la matriz asociada a T respecto de la base canó-
nica, la cual se obtiene evaluando a T en los vectores canónicos.
Se tiene T(1, 0, 0) � (1, 2, 1), T(0, 1, 0) � (1, �1, 0) y T(0, 0, 1) � (�1, 3, �1), por lo que 
la matriz asociada a T respecto de la base canónica es:
 A = 
 1 1 �1
 2 �1 3
 1 0 �1
 
La matriz de cambio de base es P � 
 1 1 1
 2 �1 1
 0 0 1
; aplicando el método de opera-
ciones elementales para calcular la inversa de P se tiene:
 1 1 1 1 0 0
 2 �1 1 0 1 0
 0 0 1 0 0 1 
~
 
 1 1 1 1 0 0
 0 �3 �1 �2 1 0
 0 0 1 0 0 1 
~
 
 1 1 0 1 0 �1
 0 �3 0 �2 1 1
 0 0 1 0 0 1 
~
 
 1 1 0 1 0 �1
 0 1 0 
2
3
 �
1
3
 �
1
3
 0 0 1 0 0 1 
~
 
 1 0 0 
1
3
 
1
3
 �
2
3
 0 1 0 
2
3
 �
1
3
 �
1
3
 0 0 1 0 0 1
De lo anterior se concluye que P�1 � 
1
3 
 1 1 �2
 2 �1 �1
 0 0 3
. Aplicando el teorema 4.4.2 in-
ferimos que la matriz asociada a T respecto a la base {(1, 2, 0), (1, �1, 0), (1, 1, 1,)} es: