Álgebra Lineal Mora (126)

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Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
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B � 
1
3
 
 1 1 �2
 2 �1 �1
 0 0 3
 
 1 1 �1
 2 �1 3
 1 0 �1
 
 1 1 1
 2 �1 1
 0 0 1
 
� 
1
3 
 
 1 1 5
 5 �4 �2
 3 3 0
En lo que sigue procederemos a demostrar el resultado que mencionamos al inicio 
de esta sección concerniente al rango de una matriz.
Defi nición 4.4.5. Dada una matriz m � n, al espacio generado por las columnas 
de A le llamaremos el espacio columna de A y a su dimensión, el rango columna de A. 
De manera análoga se defi ne el espacio fi la de A, así como el rango fi la de A.
Teorema 4.4.3. Sea A una matriz m � n, entonces el rango fi la de A es igual al rango 
columna de A.
Demostración. Si A es la matriz cero, no hay nada que demostrar, pues los espacios 
fi la y columna tienen dimensión cero.
Podemos suponer que A es no cero. Por el teorema 1.3.2, página 29, A se puede 
llevar mediante operaciones elementales en sus fi las a una matriz en forma escalonada 
reducida R. Se tiene que el espacio fi la de A y el de R son el mismo, pues las fi las de R son 
combinaciones lineales adecuadas de las fi las de A, por lo que el rango fi la de A es igual 
al número de fi las no cero de R, pues las fi las no cero de R constituyen una base para 
su espacio fi la (explique esto). Supongamos que R tiene r fi las no cero, y que la entrada 
principal de la fi la i de R se encuentra en la columna ti, entonces dichas columnas de 
R son linealmente independientes y cualesquiera otras son combinación lineal de esas 
(explique esto). Es decir, las columnas de R en donde se encuentran las entradas prin-
cipales de las fi las no cero, son una base del espacio columna de R, por lo que R tiene 
rango columna r, concluyendo que el resultado se cumple en R.
Ahora mostraremos que también se cumple en A. Para esto notamos que los con-
juntos solución de las ecuaciones AX � 0 y RX � 0 son el mismo, esto equivale a decir 
que si denotamos por A1, A2, ..., An y R1, R2, ..., Rn a las columnas de A y R respectivamen-
te, entonces para escalares x1, x2, ..., xn se tiene x1A1 	 x2A2 	 · · · 	 xnAn � 0 ⇔ x1R1 	 x2R2 
	 · · · 	 xnRn � 0. Sea t el rango columna de A. Sin perder generalidad podemos supo-
ner que A1, A2, ..., At son una base del espacio columna de A. Mostraremos que t � r.
Sean x1, ..., xt escalares tales que x1R1 	 x2R2 	 · · · 	 xtRt � 0, entonces también se 
tiene x1A1 	 x2A2 	 · · · 	 xtAt � 0, por lo que x1 � x2 � · · · � xt � 0, es decir, R1, R2, ..., Rt 
son linealmente independientes, concluyendo que t � r.
Si x1, ..., xr satisfacen x1A1 	 x2A2 	 · · · 	 xrAr � 0, entonces x1R1 	 x2R2 	 · · · 	 xrRr � 
0, por lo que x1 � x2 � · · · � xr � 0, es decir, A1, A2, ..., Ar son linealmente independientes, 
de lo que se obtiene r � t, terminando la demostración del teorema.
Defi nición 4.4.6. Dada una matriz A se defi ne el rango de A como el rango fi la o el 
rango columna de A, los cuales coinciden gracias al teorema anterior.
Observación 4.4.3. De la demostración del teorema 4.4.3 se puede notar que para 
calcular el rango fi la de una matriz A, se lleva a forma escalonada reducida. El rango 
de A es el número de fi las no cero de su forma escalonada reducida. Si A es una matriz 
m � n, su rango es � k, en donde k es el mínimo entre m y n.
Ejemplo 4.4.5. Sea A = 
 1 1 �1 1
 2 �1 3 0
 1 0 �1 2 
. Calculemos el rango de A.
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