Álgebra Lineal Mora (127)

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Álgebra lineal
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Discusión. Por la observación anterior, es sufi ciente llevar a A a forma escalonada 
reducida y el número de fi las no cero será el rango buscado.
Aplicando operaciones elementales en las fi las de A se tiene:
 1 1 �1 1
 2 �1 3 0
 1 0 �1 2
 
~
 
 1 1 �1 1
 0 �3 5 �2
 1 0 �1 2
 
~
 
 1 0 �1 2
 0 0 5 �5
 0 �1 0 1
 
~
 
 1 0 �1 2
 0 1 0 �1
 0 0 1 �1
 
~
 
 1 0 0 1
 0 1 0 �1
 0 0 1 �1
La última matriz es la forma escalonada reducida de A; de esto concluimos que el 
rango de A es tres.
4.4.2. El espacio de las transformaciones lineales
Sean V y W espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente; el espacio de las 
transformaciones lineales, denotado L(V; W), es el conjunto de todas las transformacio-
nes lineales de V en W. Las operaciones que hacen de L(V; W) un espacio vectorial son:
 • Suma. Dados T, T1 ∈ L(V; W) se defi ne (T 	 T1)(α) :� T(α) 	 T1(α1).
 • Producto por escalar. Dado un escalar λ y un elemento T ∈ L(V; W) se defi ne el 
producto (λT)(α) : � λT(α).
Se deja como ejercicio verifi car que con la suma y producto por escalar defi nidos 
antes, L(V; W) es un espacio vectorial.
Recordemos que dadas {α1, α2, ..., αn} y {β1, β2, ..., βm}, bases de V y W, respectiva-
mente, al considerar T ∈ L(V; W) se construye la matriz asociada a T, entonces al con-
siderar dos transformaciones lineales T, T1 ∈ L(V; W), hay dos matrices A y B asociadas 
a T y T1. ¿Cuál es la matriz asociada a T 	 T1? De la defi nición de matriz asociada a una 
transformación lineal se tiene que la columna j-ésima de A se obtiene de los escalares 
que aparecen en T(αj) � a1jβ1 	 a2jβ2 	 · · · 	 amjβm; análogamente, la columna j-ésima 
de B se obtiene de los escalares que aparecen en T1(αj) � b1jβ1 	 b2jβ2 	 · · · 	 bmjβm. 
Usando la defi nición de la suma de transformaciones lineales se tiene:
 (T 	 T1)(αj) � T(αj) 	 T1(αj)
 � (a1jβ1 	 a2jβ2 	 · · · 	 amjβm) 	 (b1jβ1 	 b2jβ2 	 · · · 	 bmjβm)
 � (a1j 	 b1j)β1 	 (a2j 	 b2j)β2 	 · · · 	 (amj 	 bmj)βm
De la ecuación anterior concluimos que la transformación T 	 T1 tiene asociada a 
la matriz A 	 B. Un cálculo como el anterior muestra que si λ es un escalar, entonces 
λT tiene asociada a la matriz λA.
De la discusión anterior se tiene defi nida una función ϕ : L(V; W) → Mm×n(R) por la 
regla: ϕ(T) :� A.
Las propiedades de ϕ se enuncian en el siguiente:
Teorema 4.4.4. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente. 
Entonces ϕ es un isomorfi smo, consecuentemente, la dimensión de L(V; W) es mn.
Demostración. El lector está invitado a probar que ϕ es un isomorfi smo, la segunda 
parte la probaremos directamente, pues consideramos de cierta importancia el pre-
sentar una prueba en donde se construya una base de L(V; W), ya que en este proceso 
tendremos la oportunidad de ilustrar el uso de varios conceptos y resultados. Sean α1, 
α2, ..., αn y β1, β2, ..., βm, bases de V y W, respectivamente; defi niremos transformaciones 
	Álgebra Lineal
	Capítulo 4 Transformaciones lineales y matrices
	4.4. Matrices y transformaciones lineales
	4.4.2. El espacio de las transformaciones lineales