Álgebra Lineal Mora (128)

Vista previa del material en texto

Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
113
lineales Tij : V → W que formarán una base. Como una transformación lineal queda 
completamente defi nida en una base, procedemos a defi nir los elementos Tij como 
sigue.
 
T
j k
ij k
i( )� �
�β si
en otrocaso0
⎧
⎨
⎩⎪
Mostraremos primero que el conjunto de transformaciones lineales {Tij} es lineal-
mente independiente, para esto consideremos una combinación lineal a Tij ij
i j
�0
,
∑ .
Como esta combinación lineal es la función cero, entonces al evaluarla en cualquier 
αk el resultado es cero, es decir, 0
1
� �
�
a T aij ij k ik i
i
m
i j
( )
,
α β∑∑ , para todo k = 1, ..., n.
Por otro lado, como ésta es una combinación lineal en términos de la base de W, 
los aik son cero para todo i, entonces se tiene aik � 0 para todo i y para todo k, proban-
do lo deseado.
Para demostrar que el conjunto de transformaciones {Tij} generan, consideremos 
un elemento T ∈ L(V; W) y demostremos que existen escalares bij tales que b T Tij ij
i j
�
,
∑ . 
Como T es dado, esto signifi ca que conocemos su acción en cada αk. es decir, cono-
cemos los escalares a1k, a2k, ..., amk tales que T(αk) � aik i
i
m
β
�1
∑ , para cada k � 1, 2, ..., n. 
Defi namos bij :� aij y formemos la combinación lineal b Tij ij
i j,
∑ ; de acuerdo con los 
cálculos anteriores, se tiene T(αk) � b Tij ij
i j
k
,
( )∑ α , probando con esto lo que deseábamos.
El conjunto {Tij} tiene nm elementos, entonces la dimensión de L(V; W) es nm.
4.5. Ejercicios
 1. Enuncie los teoremas y las defi niciones que se han discutido en este capítulo.
 2. Expanda el conjunto {(1, 2, 9)} a una base de R3.
 3. Encuentre dos bases de R4 que no tengan elementos en común.
 4. En el espacio de los polinomios de grado a lo más 3, encuentre una base que in-
cluya al elemento x.
 5. Encuentre explícitamente una base para cada uno de los siguientes espacios:
 a) L( R3; P4).
 b) L( R4; M2�2(R)).
 c) L(P2; M2�3(R)).
 6. Si W1 y W2 son subespacios de dimensión tres en R
4, determine las posibles di-
mensiones de W1 ∩ W2 y W1 	 W2.
 7. ¿Tiene dimensión fi nita el espacio de las funciones continuas de R en R?
 8. Demuestre que la composición de transformaciones lineales es una transforma-
ción lineal.
113
	Álgebra Lineal
	Capítulo 4 Transformaciones lineales y matrices
	4.5. Ejercicios