Álgebra Lineal Mora (129)

Vista previa del material en texto

Álgebra lineal
114
 9. Si T : R2 → R2 es una transformación lineal tal que T(1, 0) � (a, b) y T(0, 1) � (c, d). 
Encuentre T(x, y).
10. Sea T : R3 → R4 dada por T(x, y, z) � (x � y, y � z, z � x, x). Determine NT y RT.
11. Encuentre una transformación lineal inyectiva de R3 en el espacio de los polino-
mios de grado a lo más tres.
12. Sean V y W dos espacios vectoriales, T : V → W una función. Demuestre que T es 
lineal ⇔ T(xα 	 yβ) � xT(α) 	 yT(β), para todos x, y ∈ R y para todos α, β ∈ V.
13. Sea T : Rn → R una función. Demuestre que T es lineal ⇔ existen a1, a2, ..., an ∈ R 
tales que T(x1, ..., xn) � a1x1 	 a2x2 	 ··· 	 anxn.
14. Sea T : Rn → Rm una función, con funciones coordenadas T1, T2, ..., Tm. Demuestre 
que T es lineal ⇔ cada Ti es lineal, i � 1, 2, ..., m.
15. Sea T : R → R una función tal que T(x 	 y) � T(x) 	 T(y) para todo x, y ∈ R. De-
muestre que las siguientes condiciones acerca de T son equivalentes.
 a) La función T es lineal.
 b) La función T es continua en R.
 c) La función T es continua en un punto x0 ∈ R.
 16. Sea V un espacio vectorial, {α1, α2, ..., αn} una base de V y T : V → V la transforma-
ción lineal cuya acción en la base está dada por T(αn) � 0 y para cada i � 1, 2, ..., 
n � 1, T(αi) � αi+1.
 a) Encuentre la matriz A, asociada a T respecto a la base dada.
 b) Demuestre que Tn � 0, en donde Tn signifi ca la composición de T consigo 
misma n veces.
 c) Concluya de la parte anterior que An � 0.
 17. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Expli-
que sus respuestas.
 a) Si ninguno de los vectores {α, β, γ} es múltiplo de alguno de los dos restantes, 
entonces son linealmente independientes.
 b) Si los vectores {α, β, γ} son linealmente dependientes, entonces pertenecen a 
R2.
 c) Las matrices cuadradas n � n pueden ser consideradas como matrices aso-
ciadas a transformaciones lineales de Rn → Rn respecto a alguna base.
 d) Si una transformación lineal T : V → V es sobre y V tiene dimensión fi nita, 
entonces T es biyectiva.
 e) Si W es un subespacio propio de Rn, entonces dim(W) � n.
 f) Una transformación lineal puede transformar un plano en una recta.
 g) Una transformación lineal puede transformar a Rn en todo Rm, con m 
 n.
 h) Un movimiento rígido del plano transforma el cero en el cero.
 18. ¿Cómo defi ne movimiento rígido en Rn?
 19. Demuestre que si un movimiento rígido de Rn deja fi jo al cero, entonces es una 
transformación lineal.
 20. Demuestre que una transformación lineal T es no singular ⇔ T transforma con-
juntos linealmente independientes en conjuntos linealmente independientes.
114