Álgebra Lineal Mora (130)

Vista previa del material en texto

Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
115
 21. Sea V un espacio vectorial de dimensión fi nita, T : V → V una transformación 
lineal, Demuestre que T es no singular ⇔ T es biyectiva ⇔ T es suprayectiva.
 22. Complete la demostración del teorema 4.1.2.
 23. En este ejercicio se bosqueja la demostración del teorema 4.3.1, página 103. Sea 
{α1, α2, ..., αn} una base de V, entonces dado α ∈ V, existen escalares a1, a2, ..., an, 
únicos, tales que α � a1α1 	 a2α2 	 · · · 	 anαn. Defi nimos T : V → R
n por 
T(α) :� (a1, a2, ..., an). Demuestre que T es un isomorfi smo.
 24. En este ejercicio se bosqueja la demostración del teorema 4.3.2, página 103. Si 
T es no singular, de acuerdo con el ejercicio 20, página 114, T transforma con-
juntos linealmente independientes en conjuntos linealmente independientes, 
por lo que la dimensión de V es igual a la dimensión del rango de T y la dimen-
sión del núcleo es cero. Justifi que esto y concluya la igualdad establecida en el 
teorema.
Si el núcleo de T, NT no es cero, sea {α1, α2, ..., αn} una base de NT. Extienda {α1, 
α2, ..., αr} a una base de V, digamos {α1, α2, ..., αr, αr	1, ..., αn}. Demuestre que 
{T(αr	1), ..., T(αn)} es una base del rango de T y de esto concluya la ecuación 
establecida en el teorema.
 25. Sea V el espacio vectorial de los polinomios con coefi cientes reales. Considere la 
transformación lineal T : V → V defi nida por T( f(x)) :� a0x 	 
a x1
2
2
	 · · · 	 
a x
k
k
k	
	
1
1
, 
con f(x) � a0 	 a1x 	 · · · 	 akx
k. Sea D : V → V, la transformación derivada, es 
decir, D( f(x)) � f ′ (x). Demuestre que D � T � id, pero ni D ni T son isomorfi s-
mo. Discuta si alguno de D o T es inyectivo, suprayectivo.
 26. Sea V un espacio vectorial. Se defi ne el espacio de los operadores en V como 
L(V; V) :� {T : V → V | T es lineal}. Supongamos que V es de dimensión fi nita y sea 
T un operador en V. Demuestre que T es inyectivo ⇔ T es suprayectivo.
 27. Sea T ∈ L(V; V). Demuestre que dim(RT) � número de fi las no cero de la matriz 
escalonada reducida de A, con A la matriz asociada a T respecto a alguna base.
 28. Sea T ∈ L(V; V). Demuestre que T2 � 0 ⇔ T(V) ⊆ NT.
 29. Encuentre un ejemplo de un operador T : V → V para mostrar que T(V) ∩ NT � {0} 
puede ocurrir.
 30. Sea T ∈ L(V, V). Demuestre que existe un operador no cero S ∈ L(V; V) tal que 
T � S � 0 ⇔ NT � {0}.
 31. Sea V un espacio vectorial de dimensión fi nita, S, T ∈ L(V; V) tales que S � T � id. 
Demuestre que T � S � id. (El ejercicio 25 muestra que la conclusión no es cierta 
si V no tiene dimensión fi nita.)
 32. Explique si existe una transformación lineal T : R4 → R2 tal que T(0, 1, 1, 1) � 
(2, 0), T(1, 2, 1, 1) � (1, 2), T(1, l, 1, 2) � (3, 1), y T(2, 1, 0, 1) � (2, 3).
 33. Sea V un espacio de dimensión n. Denotemos por V* al espacio L(V; R). Sabemos 
que este espacio tiene dimensión n. Demuestre este hecho de la siguiente for-
ma. Dada una base {α1, α2, ..., αn} de V, existe una base {f1, f2 ..., fn} de V* tal que 
fi(αj) � 1, si i � j y fi(αj) � 0 en otro caso. A la base {f1, f2 ..., fn} se le llama base dual 
a {α1, α2, ..., αn} y al espacio V* se le llama el espacio dual de V.
115