Álgebra Lineal Mora (132)

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3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
u2
u1
Capítulo 5
117
Figura 5.1. Paralelogramo 
determinado por dos vectores.
Determinantes
La teoría de los determinantes es una de las herramientas más importantes en el estu-
dio de sistemas de ecuaciones lineales. También tiene aplicaciones en el estudio de 
transformaciones lineales, el cálculo de áreas y volúmenes, entre otras muchas. Dicho 
sea de paso, la presentación que haremos de la teoría de determinantes tiene como 
punto de partida las propiedades de la función que prescribe el área de un parale-
logramo determinado por un par de vectores en el plano. Ver la ilustración de la fi gura 
5.1. Esta misma idea se extiende al caso del volumen de un paralelepípedo, es decir, 
la función que mide el volumen de un paralelepípedo determinado por tres vectores 
en el espacio, satisface las mismas propiedades que la función que mide el área de un 
paralelogramo.
5.1. Determinantes y volúmenes de paralelepípedos
En el capítulo 3, ecuación 3.15, encontramos una forma de calcular el área de un pa-
ralelogramo cuyos lados se determinan por los vectores 
r
u1 y 
r
u2. Ahora estamos inte-
resados en examinar la función que a cada par de vectores 
r
u1 y 
r
u2 le asigna el valor de 
esa área. Denotemos esa función por A (
r
u1, 
r
u2) y hagamos algunas observaciones
de las propiedades de la función A. Un argumento, motivado por una gráfi ca, muestra 
que la función A cumple las siguientes propiedades.
 1. A(
r
e1, 
r
e2) � 1, (área del cuadrado unitario).
 2. Si λ es un real positivo, entonces A(λ
r
u1, 
r
u2) � A(
r
u1, λ
r
u2) � λA(
r
u1, 
r
u2).
 3. A(
r
u1 	 
r
u2) � A(
r
u1, 
r
u1 	 
r
u2) � A(
r
u1, 
r
u2).
 4. A(
r
u1, 
r
u2) � 0 ⇔ 
r
u1 y 
r
u2 son linealmente independientes.
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