Álgebra Lineal Mora (133)

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Álgebra lineal
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La propiedad 1 es evidente, pues los vectores canónicos determinan el cuadrado 
unitario (cuadrado de lado uno).
La propiedad 2 se obtiene notando que al multiplicar uno de los vectores por λ, 
el paralelogramo resultante tiene la misma altura1 y la base es λ veces la base del ori-
ginal.
Ejercicio 5.1.1. Justifi que las propiedades 3 y 4.
De acuerdo con la observación 3.3.2, página 78, el área de un paralelogramo deter-
minado por un par de vectores, 
r
u � (a, b) y 
r
v � (a1, b1) está dada por:
 ��
r
u � 
r
v �� � 
 i
r
 j
r
 k
ur
 a b 0
 a1 b1 0
 :� ��(ab1 � a1b) k
ur
�� � �ab1 � a1b � (5.1)
Usando la ecuación 5.1, se tiene una fórmula que expresa el área de un parale-
logramo en términos de las coordenadas de los vectores que lo defi nen, es decir, con 
la notación de la función A que mide el área de un paralelogramo determinado por los 
vectores 
r
u y 
r
v se tiene:
A(
r
u, 
r
v ) � �ab1 – a1b�
A la expresión ab1 � a1b le llamaremos el determinante de los vectores 
r
u y 
r
v o 
el determinante de la matriz 
 a b
 a1 b1
 , formada por las coordenadas de los vectores.
Ejercicio 5.1.2. Calcule el área del paralelogramo determinado por cada par de vec-
tores y haga una representación gráfi ca en cada caso.
 1. 
r
u � (2, 3), 
r
v � (4, 5).
 2. 
r
u � (0, –2), 
r
v � (2, π).
 3. 
r
u � (–1, 3), 
r
v � (0, 2 ).
 4. 
r
u � (2, 3) 
r
v � (2, 6).
Después de haber discutido cómo defi nir una función que a un par de vectores en 
el plano le asigna el área del paralelogramo determinado por éstos; formularemos la 
defi nición de una función, llamada determinante, que a cada n-ada de vectores, 
r
u1, r
u2, ..., 
r
un, en R
n le asigne un número real. Las propiedades que debe satisfacer la fun-
ción que defi niremos, son las correspondientes que satisface la función área defi nida 
antes. En el caso de R3, la función se interpretará como aquella que mide el volumen 
del paralelepípedo determinado por tres vectores.
Defi nición 5.1.1. Un determinante es una función D que asigna un número real a 
cada n-ada de vectores (
r
u1, 
r
u2 , . . . ,
r
un) de R
n, y satisface las siguientes propiedades:
 1. D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
ui 	 
r
uj, 
r
ui	1, ..., 
r
un) � D(
r
u1, ..., 
r
ui�1, 
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
un), para todo 
i � 1, ..., n y para todo j � i.
 1 La altura de un paralelogramo es la de uno de los triángulos, determinado por cualesquiera tres de sus vértices; el área 
de un paralelogramo se obtiene multiplicando la altura por la base.