Álgebra Lineal Mora (134)

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Capítulo 5. Determinantes
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 2. D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, λ
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
un) � λD(
r
u1, ...., 
r
ui�1, λ
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
un), para todo 
λ ∈ R y para todo i � 1, ..., n.
 3. D(
r
e1, ...,
r
en) � 1, en donde 
r
e1, ..., 
r
en son los vectores canónicos.
Observación 5.1.1. Nótese, como en el caso del plano, que si los vectores 
r
u1, 
r
u2, 
..., 
r
un, tienen coordenadas 
r
u1 � (ai1, ai2, ..., ain), entonces se puede formar la matriz
A � 
 a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n
 an1 an2 · · · ann
· ·
 · · · ·
· ·
 ·
· ·
 ·
y abusando de terminología diremos que la función D expresa el determinante de la 
matriz A.
Observación 5.1.2. Si para algún i � 1, 2, . . . , n se tiene 
r
u1 � 0, entonces de la parte 
2 de la defi nición 5.1.1 se concluye que D(
r
u1, ..., 
r
un) � 0.
En el siguiente teorema se establecen algunas de las propiedades básicas de la 
función determinante que permitirán calcular su valor. Esto se logrará haciendo uso 
de operaciones elementales en las fi las de la matriz determinada por las coordena-
das de los vectores.
Teorema 5.1.1. Sea D como en la defi nición anterior, entonces satisface las siguien-
tes propiedades.
 1. D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
uj, ..., 
r
un) � �D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
uj, 
r
ui	1, ..., 
r
ui, ..., 
r
un) es
 decir, D cambia de signo al intercambiar cualesquiera dos elementos.
 2. D(
r
u1, ...., 
r
ui, 
r
un) � D(
r
u1, ...., 
r
ui 	 λ
j i�
∑ j 
r
uj, 
r
ui	1, ..., 
r
un), para todo i � 1, ..., n.
 3. D es multilineal, es decir,
 a) D(
r
u1, ...., λ
r
ui, ..., 
r
un) � λD(
r
u1, ...., 
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
un), para todo i y para todo 
λ ∈ R y.
 b) D(
r
u1, ...., 
r
ui 	 
r
w, ..., 
r
un) � D(
r
u1, ...., 
r
ui, ..., 
r
un) 	 D(
r
u1, ...., 
r
wi, ..., 
r
un) para 
 todo i y para cualquier par de vectores 
r
u, 
r
w ∈ Rn.
 4. D(
r
u1, ..., 
r
un) � 0 ⇔ {
r
u1, ..., 
r
un} es linealmente dependiente.
 5. Si para todo i � 1, 2, ..., n, ui � (0, ..., 0, aii, ..., ain) para todo i � 1, 2, ..., n, 
 ui � (ai1, ..., aii, 0, ..., 0), entonces D(
r
u1, ...., 
r
ui , ..., 
r
un) � a11a22 ⋅⋅⋅ ann.
Demostración. 1) Aplicando sucesivamente las propiedades (1) y (2) de la defi ni-
ción 5.1.1 se tienen las siguientes igualdades (identifi que cuándo se usó cada pro-
piedad):
D(
r
u1, ...., 
r
ui, ..., 
r
uj, ..., 
r
un) � �D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, �
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
uj, ..., 
r
un)
� �D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, �
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
uj � 
r
ui, ..., 
r
un)
� D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, �
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
ui � 
r
uj, ..., 
r
un)