Álgebra Lineal Mora (135)

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Álgebra lineal
120
� D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, �
r
uj, 
r
ui	1, ..., 
r
ui � 
r
uj, ..., 
r
un)
� �D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
uj, 
r
ui	1, ..., 
r
ui � 
r
uj, ..., 
r
un)
� �D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
uj, 
r
ui	1, ..., 
r
ui, ..., 
r
un)
2) Procediendo por inducción, basta probar que
D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
ui 	 λ
r
uj, 
r
ui	1, ..., 
r
uj, ..., 
r
un) � D (
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
ui, 
r
ui	1, ..., 
r
uj, ..., 
r
un)
para todo λ y para todo j � i. Si λ � 0, la igualdad anterior es obvia. Supongamos que 
λ � 0, entonces:
D(
r
u1, ...., 
r
ui, ..., 
r
uj, 
r
un) � 
1
λ D(
r
u1, ...., 
r
ui, ..., λ
r
uj, 
r
un) 
� 
1
λ D(
r
u1, ...., 
r
ui 	 λ
r
uj, ..., λ
r
uj, 
r
un)
� D(
r
u1, ...., 
r
ui 	 λ
r
uj, 
r
uj, ..., 
r
un)
3) La parte a) es la propiedad 2 de la defi nición de la función D. Para demostrar la par-
te b), es sufi ciente demostrar que se cumple la igualdad:
D(
r
u1 	 
r
v1, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un) � D(
r
u1, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un) 	 D(
r
v1, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un)
Primer caso. Si los vectores {
r
u2, ..., 
r
un} son linealmente dependientes, podemos
suponer que 
r
u2 � 
i
n
�3
∑λi
r
ui, entonces por la propiedad 2, ya probada, se tiene que:
D(
r
u1 	 
r
v1, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un) � D(
r
u1 	 
r
v1, 
r
u2 � 
i
n
�3
∑λi
r
ui, 
r
u3, ..., 
r
ui, ..., 
r
un)
� D(
r
u1 	 
r
v1, 0, ..., 
r
ui, ..., 
r
un)
� 0
De igual forma se tiene que cada uno de los sumandos D(
r
u1, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un) y 
D(
r
v1, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un) es cero, obteniéndose la igualdad en este caso.
Segundo caso. Los vectores {
r
u2, ..., 
r
un} son linealmente independientes, entonces
existe w ∈ Rn tal que el conjunto {w, 
r
u2, ..., 
r
un} es una base de R
n.
De esto se tiene 
r
u1 � aw 	 
i
n
�2
∑ λi
r
ui y 
r
v1 � bw 	 
i
n
�2
∑ μi
r
ui , para algunos escalares a y b.
D(
r
u1, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un) � D(a
r
w 	 
i
n
�2
∑ λi
r
ui , 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un)
� D(aw, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un)
� aD(
r
w, 
r
u2, ..., 
r
un)