Álgebra Lineal Mora (136)

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Capítulo 5. Determinantes
121
Un cálculo análogo muestra que D(
r
v1, 
r
u2, ..., 
r
un) � bD � (
r
w, 
r
u2, ..., 
r
un).
Por otro lado, 
r
ui 	 
r
v1 � (a 	 b) 
r
w 	 
i
n
�2
∑ (λi 	 μi )
r
ui . Procediendo como en los 
cálculos anteriores se obtiene que:
D(
r
u1 	 
r
v1, 
r
u2, ..., 
r
ui , ..., 
r
un) � (a 	 b)D(w, 
r
u2, ..., 
r
un)
� aD(w, 
r
u2, ..., 
r
un) 	 bD(w, 
r
u2, ..., 
r
un)
� D(
r
u1, 
r
u2, ..., 
r
un) 	 D(
r
v1, 
r
u2, ..., 
r
un)
probando lo que se deseaba.
4) Demostraremos primero que si dos vectores son iguales, digamos el i-ésimo y 
el j-ésimo, entonces D(
r
u1, ..., 
r
un) � 0.
Por la parte 1 del teorema y la hipótesis 
r
ui � 
r
uj tenemos que:
D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
ui , 
r
ui	1, ..., 
r
uj , ..., 
r
un) � �D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
uj , 
r
ui	1, ..., 
r
ui , ..., 
r
un)
� �D(
r
u1, ...., 
r
ui�1, 
r
ui , 
r
ui	1, ..., 
r
uj , ..., 
r
un)
Agrupando en un miembro se tiene 2D(
r
u1, ...., 
r
un) � 0, y de esto D(
r
u1,..., 
r
un) � 0.
Supongamos que los vectores son linealmente dependientes. Sin perder genera-
lidad, podemos suponer que 
r
u1 � 
i
n
�2
∑ λi
r
ui , entonces usando la parte 2, ya probada, y la 
observación 5.1.2 se tiene:
D(
r
u1, 
r
u2, ..., 
r
ui , ..., 
r
un) � D(
r
u1 � 
i
n
�2
∑ λi
r
ui , 
r
u2, ..., 
r
ui , ..., 
r
un)
� D(0, 
r
u2, ..., 
r
un)
� 0
Para demostrar la implicación recíproca, procederemos por contradicción, es de-
cir, supongamos que los vectores son linealmente independientes y D(
r
u1, 
r
u2, ..., 
r
ui , 
..., 
r
un) � 0. Como los vectores 
r
u1, ..., 
r
un son linealmente independientes, entonces 
son una base de Rn, por lo que los vectores canónicos se pueden expresar como com-
binación lineal de 
r
u1, ..., 
r
un. De manera precisa, para cada i � 1, 2, ..., n, se tiene 
r
ei � 
j
n
�1
∑aji
r
uj . 
Usando esta representación de los vectores canónicos y la condición 3 en la defi -
nición del determinante se tiene que:
1 � D(
r
e1, 
r
e2, ..., 
r
en)
� D a u a u a uj j
j
n
j j
j
n
jn j
j
n
1
1
2
1 1
r r r
, , ...,
� � �
∑ ∑ ∑
⎛
⎝⎜
⎞⎞
⎠⎟