Álgebra Lineal Mora (137)

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Álgebra lineal
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Al desarrollar la última expresión en la ecuación anterior, usando que la función 
D es multilineal, propiedad 3 ya probada, se tiene que cada sumando contiene un fac-
tor de la forma D(
r
ui1, 
r
ui2, ..., 
r
uin) el cual es cero (¿por qué?). De esto se concluye que 
1 � 0, contradicción que termina la prueba.
5) Abordaremos el caso en que 
r
ui � (0, 0, ..., aii, ..., ain), el otro se trata de manera 
análoga.
Note que si aii � 0 para algún i, entonces los vectores son linealmente dependien-
tes (verifi car esto como ejercicio) y aplicando la propiedad 4 se tiene D(
r
u1, 
r
u2, ..., 
r
ui, 
..., 
r
un) � 0 � a11 ⋅ ⋅ ⋅ aii ⋅ ⋅ ⋅ ann.
Si para todo i � 1, 2, ..., n, aii � 1, aplicaciones sucesivas de la propiedad 2, ya pro-
bada, llevan a la ecuación D(
r
u1, 
r
u2, ..., 
r
ui, ..., 
r
un) � D(
r
e1, 
r
e2, ..., 
r
en) � 1, que es el resul-
tado que se desea probar.
Supongamos que aii � 0 para todo i � 1, 2, ..., n. Defi namos 
r
ui � 
r
u
a
i
ii
 para cada i.
Note que los vectores 
r
u ′i satisfacen que todas sus entradas, antes de la i-ésima, sean
cero y la i-ésima uno, entonces por lo observado antes se tiene D(
r
u ′i, 
r
u ′2, ..., 
r
u ′n) � 1.
Por otro lado, D(
r
u1, 
r
u2,..., 
r
un) � D(a11
r
u ′i, a22
r
u ′2, ..., ann
r
u ′n). Aplicando la propiedad 2 de 
la defi nición 5.1.1 y lo comentado antes se concluye que D(
r
u1, 
r
u2,..., 
r
un) � a11 ⋅ ⋅ ⋅ aii ⋅ ⋅ ⋅ 
annD(
r
u ′i, 
r
u ′2, ..., 
r
u ′n) � a11 ⋅ ⋅ ⋅ aii ⋅ ⋅ ⋅ ann, como se afi rmó. 
Antes de proceder a calcular determinantes usando las propiedades del teorema 
anterior, es necesaria algo de terminología.
Defi nición 5.1.2. Sea A � (aij) una matriz n � n. Se dice que A es:
 1. Triangular superior, si aij � 0 para todo i 
 j.
 2. Triangular inferior, si aij � 0 para todo i � j.
 3. Triangular, si es triangular superior o inferior.
 4. Diagonal si aij � 0 para todo i � j.
Recordemos también la relación que hay entre matrices elementales y operacio-
nes elementales. Las matrices elementales se han denotado por Eij, Ei(r) y Eij(r). Las 
defi niciones correspondientes se recuerdan abajo.
 1. Eij se obtiene al intercambiar las fi las i y j de la matriz identidad.
 2. Ei(r) se obtiene de la identidad al multiplicar la fi la i por r � 0.
 3. Eij(r) se obtiene al multiplicar la fi la i por r y sumarla a la fi la j.
Introduciremos algo de notación para calcular determinantes. Si A es una matriz 
cuadrada cuyas fi las se obtienen con las coordenadas de los vectores 
r
ui, 
r
u2, ..., 
r
un, 
entonces usaremos la notación:
D(
r
ui, 
r
u2, ..., 
r
un) :� |A | :� 
 a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n
 an1 an2 · · · anm
· ·
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· ·
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 ·
Con esta notación, las propiedades del teorema 5.1.1 se interpretan abajo y serán 
de gran utilidad para calcular determinantes.