Álgebra Lineal Mora (139)

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Álgebra lineal
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� 
1 �3 �4
0 2 �13
0 1 38
 ¿Cómo se obtuvo este determinante? 
� 
1 �3 �4
0 0 �89
0 1 38
 ¿Por qué?
� � 
1 �3 �4
0 1 38
0 0 �89
 Intercambiando la fi la tres y la dos.
� 89 Por la propiedad en matrices triangulares.
Ejercicio 5.1.3. Calcule el determinante de la matriz A = 
1 a a2
1 b b2
1 c c2
, suponiendo 
que a, b y c son diferentes.
5.1.1. Propiedades del determinante
A continuación presentamos algunas de las propiedades fundamentales del determi-
nante, en su demostración se usan los resultados contenidos en los teoremas 2.2.1 y 
3.4.4, por lo que urgimos al lector a revisarlos.
Teorema 5.1.2. Sean A, B y E matrices cuadradas del mismo orden, con E elemental. 
Entonces se cumple lo siguiente.
 1. El determinante de E es no cero y �EA � � �E � �A �.
 2. La matriz A tiene inversa ⇔ �A � � 0 y en este caso �A�1� � 
1
�A �
.
 3. El determinante es multiplicativo, es decir, �AB � � �A � �B �.
 4. Si At denota a la transpuesta de A, entonces �A � � �At�; es decir, la matriz A y su 
transpuesta tienen el mismo determinante. 
 5. Las fi las o columnas de A son linealmente independientes ⇔ |A | � 0.
Demostración. 
 1. La primera parte se obtiene directamente de la defi nición de matriz elemental y 
de la propiedad 3 de la defi nición 5.1.1; la segunda se obtiene de la interpreta-
ción que hicimos del teorema 5.1.1 y de la defi nición de matriz elemental.
 2. Sabemos, teorema 3.4.4, que A tiene inversa ⇔ A es equivalente por fi las a la 
identidad; ⇔ A es producto de matrices elementales. Como el determinante 
de una matriz elemental no es cero y si E y F son matrices elementales se tiene 
�EF � � �E � �F �, entonces: �A � � 0 ⇔ A tiene inversa. Si A tiene inversa, enton-
ces existen matrices elementales F1, F2 . . . , Fs, tales que F1F2 ⋅⋅⋅ FsA � In. Usando 
la propiedad 1, que ya hemos probado, obtenemos:
 �F1F2 ⋅ ⋅ ⋅ FsA � � �F1� �F2� ⋅ ⋅ ⋅ �Fs� �A � � �In� � 1 (5.2)
	Álgebra Lineal
	Capítulo 5 Determinantes
	5.1. Determinantes y volúmenes de paralelepípedos
	5.1.1. Propiedades del determinante