Álgebra Lineal Mora (140)

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Capítulo 5. Determinantes
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 También sabemos que A�1 � F1F2 ⋅ ⋅ ⋅ Fs. Aplicando el determinante a esta últi-
ma ecuación y usando nuevamente la propiedad 1 y la ecuación 5.2, se concluye
 �A�1� � 
1
�A �
 3. Para demostrar esta propiedad, notemos que el producto de matrices tiene 
inversa ⇔ cada factor la tiene. Por esta observación y la parte 2 se tiene que si 
alguna de A o B no tiene inversa, entonces tampoco AB, por lo que �AB � � 0 y 
como alguna de A o B no tiene inversa, entonces uno de �A � o �B � es cero, por 
lo que �A � �B � � 0, y de esto �AB � � �A � �B �. Si A y B son inversibles, entonces 
existen matrices elementales F1, ..., Fk y H1, ..., Hr tales que A � F1 ⋅ ⋅ ⋅ Fk y 
B � H1 ⋅ ⋅ ⋅ Hr.
De estas dos ecuaciones y la parte 1 se tiene: 
�AB � � �F1 ⋅ ⋅ ⋅ FkH1 ⋅ ⋅ ⋅ Hr� � �F1� ⋅ ⋅ ⋅ �Fk� �H1� ⋅ ⋅ ⋅ �Hr� � �A � �B �.
 4. Esta parte la dejamos como ejercicio al lector y le sugerirnos un camino.
 a) Defi na operaciones elementales en las columnas de A.
 b) Examine la relación que hay entre operaciones elementales en fi las y opera-
ciones elementales en columnas.
 c) Observe qué ocurre al aplicar reducción en las columnas de A iniciando con 
la primer columna.
 d) Si las operaciones elementales en las fi las de A, que la llevan a forma escalo-
nada reducida R, están representadas por las matrices elementales F1, ..., Fk, 
es decir, F1 ⋅ ⋅ ⋅ FkA = R, entonces A
t F tk ⋅ ⋅ ⋅ F
t
1 � R
t.
 e) Una matriz triangular y su transpuesta tienen el mismo determinante, pro-
piedad 5, teorema 5.1.1.
 5. Para este punto le pedimos al lector que aplique la parte 4 del teorema 5.1.1, y 
como ya demostró la parte 4 comentada arriba, se obtiene la conclusión.
5.1.2. Existencia y unicidad del determinante
Una vez hecha la discusión de las propiedades del determinante, es muy importante 
justifi car la existencia de una función que satisfaga dichas propiedades. La justifi ca-
ción de la existencia la proporciona el siguiente:
Teorema 5.1.3. Existe una única función D : R R
veces
n n
n
� �···
1 244 344
 → R que satisface las pro-
piedades de la defi nición 5.1.1.
Demostración. Si 
r
e1, 
r
e2, ..., 
r
en son los vectores canónicos, defi namos la función D 
que satisfaga las siguientes dos condiciones.
 1. D(
r
e1, 
r
e2, ..., 
r
en) :� 1
 2. D(
r
e1, 
r
e2, ..., 
r
e i, ..., 
r
e j, ..., 
r
en) :� �D(
r
e1, 
r
e2, ..., 
r
e j, ..., 
r
e i, ..., 
r
en) para cualesquiera 
dos índices diferentes i, j.
Las condiciones anteriores implican directamente D(
r
ej1, 
r
ej2, ..., 
r
ejn) � �1 para 
cualquier posible elección de los índices {j1, j2, ..., jn}. El signo se puede determinar 
notando que cualquier elección de los índices {j1, j2, ..., jn} se puede llevar al orden na-
tural intercambiando dos cada vez.
	Álgebra Lineal
	Capítulo 5 Determinantes
	5.1. Determinantes y volúmenes de paralelepípedos
	5.1.2. Existencia y unicidad del determinante