Álgebra Lineal Mora (141)

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Álgebra lineal
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Como D debe satisfacer la propiedad 2 de la defi nición 5.1.1 y cada vector 
r
u es 
combinación lineal de la base canónica, entonces proponemos:
 D(
r
ui, 
r
u2, ..., 
r
un) : � 
j jn1 ,...
∑ a1j1a2 j2 ⋅⋅⋅ an jn D(ej1, ej2, ..., ejn) (5.3)
en donde la suma se toma sobre las n! posibles elecciones de los índices {j1, j2, ..., jn} y r
ui � (ai1, ai2, ..., ain).
Dejamos sin demostración las propiedades 1 y 3 de la defi nición 5.1.1 y la unicidad 
de la función. Le pedimos al lector que proporcione los argumentos para terminar la 
prueba del teorema.
Observación 5.1.3. Note que la defi nición del determinante expresada en la ecua-
ción 5.3, tiene poca utilidad desde el punto de vista práctico, pues es difícil calcular todas 
las elecciones de los índices {j1, j2, ..., jn} y los signos que aparecen; sin embargo, para el 
caso de matrices 2 � 2, se tiene:
a b
c d
 � ad � bc.
5.2. Regla de Cramer, menores y cofactores
Uno de los problemas centrales en álgebra lineal es resolver un sistema de ecuaciones 
lineales, el cual se puede representar en la forma AX � B. Para tal efecto existen varios 
métodos, uno de los cuales ha sido discutido, nos referimos al método de reducción 
de Gauss-Jordan. Este método ofrece ciertas ventajas, sobre todo si tratamos de en-
contrar soluciones numéricas. Por otro lado, cuando los coefi cientes del sistema son 
parámetros que dependen del tiempo, como es el caso de algunos modelos económi-
cos lineales, y las soluciones se han de analizar tomando en cuenta su variación en el 
tiempo, el método de Gauss-Jordan puede no ofrecer la mejor solución. En este caso, 
un método que permita expresar las soluciones por medio de una ecuación pudiese 
ser más adecuado; éste es el caso del método conocido como Regla de Cramer. Para 
desarrollarlo, requeriremos calcular determinantes, por lo que se llama método de me-
nores y cofactores. Requerimos un poco de terminología. Dada una matriz cuadrada 
A � (aij) y dos enteros 1 � i, j � n, se defi ne el menor Mij como el determinante de la 
matriz que se obtiene de A al omitir la fi la i-ésima y la columna j-ésima. Así mismo, 
el cofactor Cij del elemento aij se expresa mediante Cij :� (�1)
i	jMij. También se defi ne 
la matriz adjunta clásica de A, denotada Adj(A) como:
Adj(A) :� 
 C11 C21 · · · Cn1
 C12 C22 · · · Cn2
 C1n C2n · · · Cnn
· ·
 ·
· ·
 · · · ·
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 ·
Por ejemplo, si A � 
 a11 b22
 a21 b22
, entonces M11 � a22, M12 � a21, M21 � a12, M22 � a11, 
C11 � a22, C12 � �M12 � �a21, C21 � �M21 � �a12 y C22 � M22 � a11. De esto se tiene que 
la adjunta clásica de A es: 
	Álgebra Lineal
	Capítulo 5 Determinantes
	5.2. Regla de Cramer, menores y cofactores