Álgebra Lineal Mora (142)

Vista previa del material en texto

Capítulo 5. Determinantes
127127
Adj(A) � 
 a22 �a12
 �a21 a11
De la expresión que defi ne a la adjunta de A y aplicando la observación 5.1.3 se 
obtiene:
A(Adj(A)) � 
 a11 b12
 a21 b22
 
 a22 �a12
 �a21 a11
 � 
 |A | 0
 0 |A | � |A |I2
Con la notación y terminología establecidas anteriormente, se tienen los resulta-
dos que siguen, los cuales se presentan sin demostración. El primero proporciona un 
método para evaluar determinantes, llamado desarrollo de determinantes por menores 
y cofactores, mientras que el segundo es la base del método conocido como Regla de 
Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Teorema 5.2.1. Sea A una matriz n � n, Cij como se defi nió antes, entonces
 �A � � ai1Ci1 	 ai2Ci2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 ainCin � a1jC1j 	 a2jC2j 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 anjCnj (5.4)
para cualesquiera i, j entre 1 y n.
Teorema 5.2.2. (Regla de Cramer). Dada una matriz cuadrada A, se tiene Adj(A)
A � A ⋅ Adj(A) � �A �In. En particular, si A admite inversa, ésta se representa como
A�1 � 
Adj(A)
�A �
.
Recordemos que si A es una matriz cuadrada que tiene inversa y B es un vector 
columna con entradas bi, entonces el sistema AX � B tiene solución única. En efecto, 
multiplicando en la ecuación anterior por A�1, se tiene A–1AX � A�1B; de esto y la de-
fi nición de Adj(A) obtenemos:
X � A�1B � 
Adj(A)
�A �
 B � 
1
�A � 
Adj(A)B � 
1
�A � 
 C11 C21 · · · Cn1
 C12 C22 · · · Cn2
 C1n C2n · · · Cnn
· ·
 ·
· ·
 · · · ·
· ·
 · 
B
Desarrollando el producto anterior y escribiendo las componentes de X se llega a:
 xi � 
b1C1i 	 b2C2i 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 bnCni
�A �
, para todo i � 1, 2, ..., n (5.5)
De acuerdo con (5.4), la ecuación anterior se puede expresar como:
 xi � 
�A i �
�A �
 (5.6)
en donde la matriz Ai se obtiene de A sustituyendo la columna i-ésima de A por el vector 
columna B.