Álgebra Lineal Mora (143)

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Álgebra lineal
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Observación 5.2.1. A la ecuación 5.6 se le conoce usualmente como Regla de Cramer 
para resolver sistemas de ecuaciones. Nosotros le hemos llamado Regla de Cramer al teo-
rema que sirve de base para obtener este resultado.
5.3. Determinantes y ecuaciones diferenciales
En esta sección presentamos una demostración del criterio que usa el wronskiano para 
determinar si un conjunto de funciones, n-veces diferenciables en un intervalo, es li-
nealmente independiente. Estamos dando por hecho que el conjunto de las funciones 
con valores reales, defi nidas en un intervalo I, son n-veces diferenciables es un espacio 
vectorial.
Consideremos la ecuación diferencial:
 y ′ 	 p(x)y � 0 (5.7)
en donde la función p(x) es continua en un intervalo I. Sea P(x) una primitiva de p(x) en 
I, es decir, P ′(x) � p(x) para todo x ∈ I. Multiplicando ambos miembros de (5.7) por 
eP(x) y aplicando la regla para derivar un producto de funciones se tiene:
 (eP(x)y)′ � eP(x)y ′ 	 p(x)eP(x)y � eP(x)(y ′ 	 p(x)y) � 0 (5.8)
concluyendo que e P(x)y � k, para alguna constante k. La última ecuación equivale a:
 y � ke�P(x) (5.9)
La función P(x) puede ser defi nida por P(x) :� 
x
x
0
∫ p(t)dt, para algún x0 ∈ I. Con
esta elección de P(x), la constante k se obtiene al evaluar y en x0, es decir, de la ecua-
ción 5.9 se llega a: y(x0) � ke
P x� ( )0 � ke0 � k.
Lema 5.3.1. Sea {fij} un conjunto con n
2 funciones diferenciables en el intervalo I. 
Para cada x ∈ I se defi ne:
 G(x) :� 
f11(x) · · · f1n(x)
f21(x) · · · f1n(x)
 . . . . . .
fn1(x) · · · fnn(x)
Entonces G(x) es diferenciable y
G′(x) :� 
f ′11(x) · · · f ′1n(x)
f21(x) · · · f2n(x)
 . . . . . .
fn1(x) · · · fnn(x)
 	 
f11(x) · · · f1n(x)
f ′21(x) · · · f ′2n(x)
 . . . . . .
fn1(x) · · · fnn(x)
 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 
f11(x) · · · f1n(x)
f21(x) · · · f2n(x)
 . . . . . .
f ′n1(x) · · · f ′nn(x)
Demostración. Recordemos que el determinante de una matriz se expresa me-
diante la ecuación:
 G(x) � 
�∈
∑
Sn
sign(σ)f1σ(1) · · · fnσ(n) (5.10)
	Álgebra Lineal
	Capítulo 5 Determinantes
	5.3. Determinantes y ecuaciones diferenciales