Álgebra Lineal Mora (144)

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Capítulo 5. Determinantes
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(5.3), página 126. Derivando ambos miembros de esta ecuación y usando la regla de 
Leibniz para calcular la derivada del producto de n funciones se llega a:
G′(x) � 
�∈
∑
Sn
sign(σ)(f1σ(1) · · · fnσ(n))′
� si ( ) ( ˆ )( ) ( ) ( ) ( )gn σ σ σ σ σ′
⎛∑ f f f fi i
i
n
i i n n
�1
1 1 L L⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟∈
∑
σ Sn
� si ( ) ˆ( ) ( ) ( ) ( )gn σ σ
σ
σ σ σ′
⎛
⎝
⎜ ∑ f f f fi i
S
i i n n
n�
1 1 L L
⎞⎞
⎠
⎟∑
i
n
�1
en donde la notación 
∧
f iσ(i) signifi ca que ese factor se ha omitido. Observemos que cada 
suma:
�∈
∑
Sn
sign(σ)f ′iσ(i) f1σ(1) · · · 
∧
f iσ(i) · · · fnσ(n)
es el determinante de la matriz Ai que se ha obtenido de G(x) sustituyendo la fi la 
i-ésima por ( f ′i1, ..., f ′in), es decir, G′(x) � i
n
�1∑ �A i �, como se afi rmó en el lema.
Sean g1(x), g2(x), ..., gn(x) funciones n-veces diferenciables en un intervalo I. La 
j-ésima derivada de gi la denotaremos por gi
(j) y convenimos, como es costumbre, que 
gi
(0) � gi. Haciendo fij(x) :� gi
(j) para i � 1, 2, ..., n y j � 0, 1, ..., n � 1, la función G(x) se 
expresa como:
G(x) : � 
 g1(x) · · · gn(x)
 g ′1(x) · · · g ′n(x)
 . . . . . .
g 1
(n�1)(x) · · · g n
(n�1)(x)
comúnmente llamada el wronskiano de g1(x), g2(x), ..., gn(x) y denotada por W(g1, g2, 
..., gn)(x).
Lema 5.3.2. Si g1(x), g2(x), ..., gn(x) son funciones n-veces diferenciables en un inter-
valo I, entonces la función W(g1, g2, ..., gn)(x) es diferenciable y se tiene:
W′(g1, g2, ..., gn)(x) � 
 g1(x) · · · gn(x)
 g ′1(x) · · · g ′n(x)
 . . . . . .
g 1
(n)(x) · · · g n
(n)(x)
Demostración. Por el lema 5.3.1 se tiene que W ′(g1, g2, ..., gn)(x) � G′(x) � i
n
�1∑ �A i �, 
con Ai la matriz que se obtiene de W(g1, g2, ..., gn) sustituyendo la fi la i-ésima por su 
derivada. Entonces la matriz Ai tiene una fi la repetida para i � 1, 2, ..., (n � 1), por 
lo que su determinante es cero. De esto se tiene que W′(g1, g2, ..., gn)(x) � G′(x) � �An�, 
que es la expresión buscada. 
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