Álgebra Lineal Mora (145)

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Álgebra lineal
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Teorema 5.3.1 Sean an(x), an � 1(x), ..., a0(x) funciones continuas en un intervalo ce-
rrado I. Adicionalmente, supongamos que an(x) � 0 para todo x ∈ I. Consideremos la 
ecuación diferencial lineal homogénea de orden n:
 an(x)y
(n) 	 an � 1(x)y
(n � 1) 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 a1(x)y ′ 	 a0(x) � 0. (5.11)
Si g1, g2, ..., gn son soluciones de (5.11), entonces {g1, g2, ..., gn} es linealmente inde-
pendiente ⇔ existe x0 ∈ I tal que W(gl, g2, ..., gn)(x0) � 0.
Demostración. Sean c1, c2, ..., cn escalares tales que h � c1g1 	 c2g2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 cngn es 
la función cero en I. De esto se tiene que h(j) � c1g1
( j) 	 c2g2
( j) 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 cngn
( j) también 
es la función cero en I para todo j � 0, 1, 2 ..., (n � 1). Si A tiene por determinante 
a: W(g1, g2, ..., gn), entonces (c1, c2, ..., cn) es solución no trivial de AX � 0 ⇔ W(g1, g2 ..., 
gn)(x) � 0 para todo x ∈ I. Para terminar la demostración probaremos que W(g1, 
g2 ..., gn)(x) � 0 para todo x ∈ I ⇔ existe x0 ∈ I tal que W(g1, g2 ..., gn)(x0) � 0. Es-
to último será consecuencia de que W(g1, g2 ..., gn)(x) es solución de (5.7), con
p(x) � 
an�1(x)
an(x)
.
Del lema 5.3.2, se tiene:
 W ′(g1, g2, ..., gn)(x) � 
 g1(x) · · · gn(x)
 g ′1(x) · · · g ′n(x)
 . . . . . .
g 1
(n)(x) · · · g n
(n)(x)
 (5.12)
Por hipótesis, cada gi es solución de (5.11), entonces:
gi
(n)(x) � 
1
an(x)
(an�1gi
(n�1) 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 a0gi)(x).
Sustituyendo estas ecuaciones en (5.12), usando la multilinealidad del determi-
nante y la propiedad de que cuando hay dos fi las iguales el determinante vale cero, 
obtenemos:
W ′(g1, g2, ..., gn)(x) � �
an�1
an
 
 g1(x) · · · gn(x)
 g ′1(x) · · · g ′n(x)
 . . . . . .
g 1
(n�1)(x) · · · g n
(n�1)(x)
probando que W(g1, g2 ..., gn)(x) es solución de y ′ 	 
an�1
an
y � 0. De manera más preci-
sa, por la discusión al inicio de esta sección sabemos que:
 W (g1, g2, ..., gn)(x) � W (g1, g2, ..., gn)(x0)e
x
x0 p(t) dt (5.13)
para algún x0 ∈ I y p(t) � 
an�1(t)
an(t)
. Como la función exponencial no es cero en todo
punto, entonces W (g1, g2, ..., gn)(x) � 0 ⇔ W (g1, g2, ..., gn)(x0) � 0.