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Álgebra lineal 132 Figura 5.2. Volumen de un paralelepípedo. 7. Sean U, V y W vectores en R3. Demuestre que el volumen del paralelepípedo determinado por estos tres vectores, ver la fi gura 5.2, es �〈U � V, W 〉�, en donde U � V denota al producto cruz de U y V. De esta consideración geométrica debiera ser claro que 〈U � V, W 〉 � 〈U, V � W 〉 � D(U, V, W), con D la fun- ción determinante. 8. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones en términos de t, usando la Re- gla de Cramer. No olvide considerar el caso en que la matriz de coefi cientes es singular. a) 2(t 1)x 3y � 1 3x 4(t 2 1)y � 3 b) 2tx 3y z � 1 2x ty z � 0 �x 3y t2z � �1 c) 2tx 3y � t2 3x 4t2y � 3t d) 2x 3y z w � 1 2x � y z � 3w � 0 �x 3y z � w � �1 x � y � z � w � 2 9. Enuncie todos los teoremas y defi niciones que se han discutido en este ca- pítulo. 10. Si A y B son matrices similares, demuestre que tienen el mismo determinante. 11. Sea A una matriz n � n, demuestre que hay a lo más n valores de c ∈ R tales que la matriz B � A � cIn es singular. Encuentre un ejemplo para el cual la ma- triz B es singular exactamente para n valores de c. 12. Sean (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) y (c1, c2, c3) tres puntos no colineales en R 3. Demues- tre que la ecuación del plano que los contiene está dada por: UxV W V U
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