Álgebra Lineal Mora (148)

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Capítulo 5. Determinantes
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x y z 1
a1 a2 a3 1
b1 b2 b3 1
c1 c2 c3 1 
� 0
13. Sea A una matriz n � n. Supongamos que sus columnas, consideradas como 
elementos de Rn, son ortogonales. ¿Cuál es el valor de �A �?
14. Sea A una matriz cuadrada diagonal por bloques, ¿cómo calcular el determinan-
te de A en términos de los bloques de A?
15. Sean A, B, C y D matrices cuadradas del mismo orden que conmutan. Adicio-
 nalmente, suponga que A y C tienen inversa. Pongamos M � 
A B
C D
 . Demues-
 tre que �M � � �AD � BC �.
16. Sean x1, ..., xn ∈ R, A � (aij) matriz n � n, con aij � xi
j�1. Demuestre que:
 �A � � ( ) ( )
( )
� �
�
� � �
1
1
2
1
n n
i j
i j n
x x∏
 A este determinante se le llama determinante de Vandermonde.
17. Use el resultado del ejercicio 16 para demostrar que:
 
1 1 1 · · · 1
1 2 22 · · · 2
n�1
1 3 32 · · · 3
n�1
 . . . . . . . · · · . . . . .
1 n n2 · · · n
n�1
 � 1!2!3! ⋅ ⋅ ⋅ (n � 1)!
18. Recordemos que una matriz es antisimétrica si At � �A. Sea A una matriz 
n � n, antisimétrica con n impar. Demuestre que A es singular.
19. Demuestre que:
 
 1	x1 x2 x3 · · · xn
 x1 1	x2 x3 · · · xn
 x1 x2 1	x3 · · · xn . . . . . . . · · ·
 . . . . .
 x1 x2 x3 · · · 1	xn
 � 1 	 x1 	 x2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 xn
20. Una matriz cuadrada A, se dice idempotente si A2 � A. ¿Cuáles son los posi-
bles valores de |A | para matrices idempotentes?
21. Sea A una matriz 2 � 2 y suponga que A2 � 0. Demuestre que para todo escalar 
c, |cI � A | � c2. ¿Se cumple el mismo resultado si A es n � n y Ak � 0 para al-
gún entero positivo k?
22. Calcule el siguiente determinante:
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