Álgebra Lineal Mora (149)

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Álgebra lineal
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 a a	h a	h2 · · · · · · a	(n�1)h
 �a a 0 · · · · · · 0
 0 �a a · · · · · · 0
 0 0 �a a · · · 0 . . . . . . . . · · ·
 . . . . . . .
 0 0 0 · · · a 0
 0 0 0 · · · �a a
23. Sin efectuar los cálculos, demuestre que las siguientes igualdades tienen lugar.
 a) 
1 a bc
1 b ca
1 c ab
 � 
1 a a2
1 b b2
1 c c2
 b) 
 a � b b � c c � a
 1 1 1
 a b c
 � 
a b c
1 1 1
b c a
24. Suponga que la matriz siguiente es de orden n � n, n 
 2. ¿Para qué valores de n 
es singular?
 
1 1 0 0 · · · 0 0
0 1 1 0 · · · 0 0
0 0 1 1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 · · · 1 1
1 0 0 0 · · · 0 1
25. Sea A una matriz n � n. Demuestre que �Adj(A) � � �A �n � 1. Si A es no singular 
use la igualdad anterior para demostrar que Adj(Adj(A)) � �A �n � 2A, si n � 2.
26. Sea A una matriz n � n tal que sus columnas A1, A2, ..., An vistas como elemen-
tos de Rn tienen norma uno y son ortogonales. Demuestre que �A � � �1.
27. Sea A como en el ejercicio anterior y considere vectores Y1, Y2, ..., Yn en R
n. Si 
B es la matriz que tiene a los elementos AY1, AY2, ..., AYn como columnas, ¿cuál 
es el determinante de B en términos de los elementos Y1, Y2, ..., Yn? ¿Cuál es la 
interpretación geométrica de este resultado?
28. Sea A una matriz n � n tal que sus columnas A1, A2, ..., An se pueden conside-
rar elementos de Rn. Demuestre que el valor absoluto del determinante de A 
es � que ��A1�� ��A2�� ⋅ ⋅ ⋅ ��An��, en donde ��Ai�� denota la norma de Ai. Sugerencia: 
reduzca el problema al caso en que las columnas son linealmente indepen-
dientes y tienen norma uno. La desigualdad anterior se llama Desigualdad de 
Hadamard.