Álgebra Lineal Mora (150)

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Capítulo 6
Eigenteoría: estructura de operadores
En diversos problemas de economía, física, ingeniería, entre otras áreas; la formulación 
matemática se hace por medio de un sistema de funciones lineales, y esto se puede 
representar por medio de un producto de matrices AX, en donde A es n � n y X es un 
vector columna. Las mismas condiciones del problema imponen hipótesis sobre X, 
una de ésas es que no sea el vector cero. Por ejemplo, X puede representar las canti-
dades que se invierten para producir bienes de consumo. Con estas suposiciones es 
natural preguntarse, ¿existe una X de tal forma que la producción sea proporcional a la 
inversión? En lenguaje matemático esto se traduce a ¿existe una X � 0 tal que:
AX � λX? (6.1)
La forma usual de abordar la pregunta anterior es notar que la ecuación 6.1 tiene 
una solución, con X � 0, ⇔ la matriz A � λI es singular, y esta última condición se pue-
de formular a través del determinante de la matriz A � λI, dando lugar al concepto de 
polinomio característico. El usar determinantes para discutir el problema planteado 
tiene algunas desventajas, entre éstas se encuentra la necesidad de hacer una presen-
tación más o menos exhaustiva de las propiedades del determinante. También se tiene 
que el polinomio característico no proporciona condiciones necesarias y sufi cientes 
para que una matriz sea diagonalizable o triangulable.
Con el enfoque abordado en este capítulo, iniciamos defi niendo el polinomio mí-
nimo de una matriz u operador, con lo cual estamos en posibilidades de establecer 
propiedades relacionadas con la estructura de la matriz u operador. Por ejemplo, uno 
de los primeros resultados que se demuestran es el teorema de la Descomposición Pri-
maria, teorema 6.1.3, página 140, el cual juega un papel central en la discusión pos-
terior. Otro aspecto relevante de este enfoque es que el polinomio mínimo se obtiene 
usando un algoritmo que solamente requiere de operaciones elementales en las fi las y 
columnas de la matriz A � λI, lo cual, desde el punto de vista computacional, resulta 
más efi ciente que calcular determinantes. Asimismo, a partir del polinomio mínimo, 
podemos defi nir el polinomio característico y dar una prueba muy corta del importante 
teorema de Cayley-Hamilton.
6.1. Definiciones y resultados básicos
En esta sección discutimos la existencia del polinomio mínimo, así como sus propie-
dades fundamentales.
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.1. Definiciones y resultados básicos