Álgebra Lineal Mora (151)

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Álgebra lineal
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6.1.1. El polinomio mínimo
Iniciamos la discusión presentando algunos conceptos relacionados con la existencia 
de valores característicos.
El problema de valores característicos se aborda estudiando las soluciones de la 
ecuación 6.1. Esto también se puede formular de la siguiente manera. ¿Para qué valo-
res de λ es singular la matriz A � λI?
Tomando la ruta vía determinantes, la condición para que A � λI sea singular 
se formula en términos de su determinante, esto es, se debe cumplir que f(λ) :� �A � 
λI � � 0. Entonces, la existencia de valores característicos de A equivale a la existencia 
de raíces de f(x), y esto a la vez equivale a que f(x) admita factores lineales, lo cual no 
siempre queda garantizado.
En la ruta que tomamos, partimos de la misma condición: la matriz A � λI es sin-
gular. La existencia de valores característicos toma otro camino, en donde se hace uso 
sistemático de aspectos relacionados con la matriz u operador y el espacio en donde 
actúa.
Si X es un vector no cero en Rn, el conjunto {X, AX, A2X, ..., AnX} es linealmente 
dependiente, por tener n 	 1 elementos, por lo que existen escalares a0, a1, ..., an, no 
todos cero, tales que:
 a0X 	 a1AX 	 a2A
2X 	 · · · 	 anA
nX � 0 (6.2)
Defi niendo el polinomio h(x) :� a0 	 a1x 	 a2x
2 	 · · · 	 anx
n, la ecuación 6.2 se pue-
de escribir como h(A)X � 0, en donde hemos defi nido h(A) :� a0I 	 a1A 	 a2A
2 	 · · · 	 
anA
n. Notemos que el polinomio h(x) depende de X.
Si para algún X � 0, h(x) se factoriza como producto de polinomios lineales, digamos:
h(x) � (x � λ1) (x � λ2) · · · (x � λn) (6.3)
entonces, al ser h(A) � (A � λ1I)(A � λ2I) · · · (A � λnI) singular (h(A)X � 0), necesaria-
mente uno de los factores de h(A) debe ser singular, es decir, A tiene un valor propio.
Como señalamos antes, el polinomio h(x) depende del vector X; lo que haremos 
en seguida es mostrar que existe un polinomio de mínimo grado m(x), que solamente 
depende de A y m(A) � 0.
La discusión que sigue muestra dos formas de probar la existencia de m(x), con 
las mismas condiciones de antes, salvo que usaremos cierta notación para h(x). Si {X1, 
X2, ..., Xn} es una base de R
n, al polinomio h (x) asociado a cada Xi lo denotaremos por 
hi(x), entonces el polinomio:
 g(x) � h1(x)h2(x) · · · hn(x) (6.4)
tiene grado � n2 y satisface que g(A) es la matriz cero (justifíquelo, ejercicio 17, página 
168). Una vez garantizada la existencia de un polinomio de grado positivo que tiene por 
raíz a A, se toma el de menor grado.
Lo desarrollado antes se hizo para matrices, sugerimos al lector hacer la traducción 
para operadores. En lo que sigue mostramos la existencia de m(x) para operadores si-
guiendo otra idea.
Sea V un espacio vectorial de dimensión fi nita, sabemos que el espacio de los ope-
radores, L(V; V) también tiene dimensión fi nita, más precisamente, si V tiene dimensión 
	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.1. Definiciones y resultados básicos
	6.1.1. El polinomio mínimo