Álgebra Lineal Mora (152)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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n, entonces dim (L (V; V)) � n2. Sea T un operador en V, entonces el conjunto {I, T, T 2, 
..., Tn2} es linealmente dependiente, por lo que existen escalares, a0, a1 ..., an2 
no todos 
cero tales que a0I 	 a1T 	 · · · 	 an2T
n2
 
� 0. Esto se traduce diciendo que existe un po-
linomio no cero, f(x) tal que f(T) � 0. En este caso decimos que T es un cero del poli-
nomio f(x). De todos los polinomios que tienen a T como cero, existe uno de mínimo 
grado y mónico.
En el siguiente teorema se discuten algunas de las propiedades importantes de este 
polinomio.
Teorema 6.1.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión n, T : V → V un operador, 
entonces existe un único polinomio mónico m(x) tal que:
 1. m(T) � 0.
 2. Si f(x) es otro polinomio tal que f(T) � 0, entonces m(x) divide a f(x).
Demostración. La existencia de m(x) ha sido discutida anteriormente; la unicidad 
será consecuencia de la parte dos del teorema, por lo que probaremos eso. Sea f(x) 
un polinomio tal que f(T) � 0. Por el algoritmo de la división, existen polinomios q(x) y 
r(x) tales que:
 f(x) � m(x)q(x) 	 r(x), con r(x) � 0 o deg (r(x)) � deg (m(x)) (6.5)
Evaluando la ecuación 6.5 en T y tomando en cuenta que T es raíz de f(x) y de m(x) 
se tiene r(T) � 0. Como m(x) es el polinomio de mínimo grado que tiene a T por raíz, 
necesariamente se debe tener que r(x) � 0, probando lo afi rmado. La unicidad de 
m(x) se obtiene del siguiente argumento. Si m(x) y g(x) son polinomios mónicos de mí-
nimo grado que tienen a T por raíz, entonces, por lo probado antes se dividen mutua-
mente; ahora el hecho de ser mónicos implica que son iguales.
Defi nición 6.1.1. Al polinomio del teorema 6.7.1 le llamaremos el polinomio míni-
mo de T y lo denotaremos mT(x).
Antes de presentar propiedades generales e importantes del polinomio mínimo de 
un operador, discutimos el caso en que el espacio tiene dimensión dos. La generaliza-
ción del ejemplo siguiente es el teorema 6.1.2.
Ejemplo 6.1.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión 2, T un operador en V. En-
tonces el polinomio mínimo de T tiene grado a lo más dos.
Caso I. Para todo α ∈ V los vectores α y T(α) son linealmente dependientes. La con-
dición equivale a que para cada α existe un escalar cα tal que T(α) � cαα. Mostraremos 
que el escalar cα no depende de α. Para esto es sufi ciente demostrar que si α y β son 
linealmente independientes, entonces cα � cβ.
Se tiene T(α 	 β) � c(α 	 β). Por otro lado, T(α 	 β) � T(α) 	 T(β) � cαα 	 cββ. De 
estas ecuaciones se concluye que cα 	 cβ � cαα 	 cββ. Como α y β son linealmente in-
dependientes, entonces c � cα � cβ.
Resumiendo, hemos probado que existe una constante c tal que T(α) � cα para 
todo α ∈ V; esto equivale a (T � cI)(α) � 0 para todo α ∈ V, es decir, T � cI es el operador 
cero. Entonces el polinomio mínimo de T es x � c.
Caso II. Existe un α ∈ V tal que α y T(α) son linealmente independientes. Como 
V tiene dimensión dos, α, T(α), T 2(α) son linealmente dependientes, entonces existen 
escalares a y b tales que T 2(α) � aT(α) 	 bα.
Afi rmamos que el polinomio mínimo de T es x2 � ax � b. Esto equivale a probar que 
S � T2 � aT � bI es el operador cero, para lo cual basta probar que S(α) � S(T(α)) � 0.
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