Álgebra Lineal Mora (153)

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Álgebra lineal
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De la ecuación T 2(α) � aT(α) 	 bα se obtiene S(α) � T 2(α) � aT(α) � bα � 0.
También tenemos que S(T(α)) � (T 2 � aT � bI)(T(α)) � T(T 2(α) � aT(α) � bα) � 
T(0) � 0, probando lo afi rmado. De los casos discutidos se concluye que mT(x) tiene 
grado a lo más dos, como afi rmamos.
Ejemplo 6.1.2. Encuentre el polinomio mínimo del operador T : R2 → R2 dado por 
T(x, y) � (2x � 3x 	 y).
Se tiene T(1, 0) � (2, 3) por lo que (1, 0) y T(1, 0) � (2, 3) son linealmente indepen-
dientes. También tenemos T 2(1, 0) � T(T(1, 0)) � T(2, 3) � (1, 9). Como (1, 0) y T(1, 
0) � (2, 3) son linealmente independientes, deseamos encontrar escalares a y b tales 
que T 2(1, 0) � aT(1, 0) 	 b(1, 0). Resolviendo esta ecuación se encuentra que a � 3 y 
b � �5, por lo que el polinomio mínimo de T es mT(x) � x
2 � 3x 	 5. 
El método del ejemplo anterior funciona para operadores en espacios de dimen-
sión mayor, sin embargo puede fallar en algunos casos. Veamos un ejemplo en di-
mensión tres.
Ejemplo 6.1.3. Encuentre el polinomio mínimo del operador T : R3 → R3 dado por 
T(x, y, z) � (2x 	 y, 2y 	 z, x 	 y 	 2z).
Se tiene T(1, 0, 0) � (2, 0, 1), T 2(1, 0, 0) � T(2, 0, 1) � (4, 1, 4) y los vectores (1, 0, 0), 
(2, 0, 1), (4, 1, 4) son linealmente independientes, pues la matriz cuyas columnas son los 
vectores dados es equivalente por fi las a la identidad. También tenemos T 3(1, 0, 0) � (9, 
6, 13). Este vector es combinación lineal de (1, 0, 0), T(1, 0, 0) � (2, 0, 1), T 2(1, 0, 0) � (4, 1, 
4), más precisamente,
T 3(1, 0, 0) � (9, 6, 13) � 7(1, 0, 0) � 11(2, 0, 1) 	 6(4, 1, 4)
De esta ecuación se tiene que el polinomio mínimo de T es mT(x) � x
3 � 6x2 	 11x 
� 7, pues mT(T) se anula en la base {(1, 0, 0), T(1, 0, 0), T
2(1, 0, 0)}.
Como se mencionó al inicio del capítulo, el concepto de valor y vector caracterís-
tico de un operador o matriz es fundamental en varios problemas de álgebra lineal y 
teoría de operadores. Estos conceptos se pueden formular de la siguiente forma.
Defi nición 6.1.2. Sea V un espacio de dimensión fi nita, T : V → V un operador y λ un 
escalar. Se dice que λ es un valor característico o valor propio de T, si T � λI es singular. A 
los elementos del núcleo de T � λI, excluyendo el cero, se les llama vectores característicos 
de T asociados a λ.
Más adelante, en este mismi capítulo, aparece otra defi nición de valor caracterís-
tico, invitamos al lector a verifi car que aquélla y la anterior son equivalentes.
Un concepto que generaliza al de vector característico y es de gran utilidad es el 
de subespacio invariante.
Defi nición 6.1.3. Sea V un espacio vectorial, T : V → V un operador. El subespacio U 
de V se llama T-invariante, si T(U) ⊆ U.
Si U es un subespacio propio de V e invariante bajo el operador T, entonces la res-
tricción de T a U es un operador actuando en un espacio de dimensión menor, lo cual 
en muchos casos resulta de utilidad. Una ventaja aún mayor resulta cuando U tiene 
un complemento que también es invariante, es decir, existe un subespacio U1 que es 
T-invariante, tal que V � U ⊕ U1. Estas ideas las extenderemos en lo que sigue.
De la argumentación en la demostración del teorema 6.1.1 se tiene que el grado 
de mT(x) es � n
2; el teorema que sigue, después del lema, mejora esa cota de manera 
signifi cativa.