Álgebra Lineal Mora (154)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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Lema 6.1.1. Sea V un espacio de dimensión n � 1, T un operador en V y W un subes-
pacio T-invariante de dimensión k � 1. Entonces existe un polinomio g(x) de grado a lo 
más n � k tal que g(T)(V) ⊆ W.
Demostración. Pongamos dim(W ) � n � r, con 0 � r � n. Aplicaremos inducción 
sobre r. Si r � 0, entonces W � V y cualquier polinomio constante funciona. Si r � 1, 
entonces W tiene dimensión n � 1. Sean {α1, α2, ..., αn�1} una base de W y β ∈ V tal que 
{α1, α2, ..., αn–1, β} es base de V. Entonces T(β) � γ 	 cβ, con γ ∈ W y c ∈ R. Como W es 
T-invariante, entonces (T � cI)(αi) ∈ W para todo i � 1, 2, ..., n � 1. De esto se tiene 
(T � cI)(α) ∈ W para todo α ∈ V, es decir, el polinomio x – c satisface lo requerido.
Supongamos r 
 1 y sea α ∈ V \ W. Se tiene que existe un polinomio h(x) de grado 
positivo tal que h(T )(α) ∈ W, por ejemplo el polinomio mínimo de T cumple esto. Sea 
g(x) el polinomio de mínimo grado y mónico que satisface g(T )(α) ∈ W. Si el grado 
de g(x) es l, consideremos los elementos: α, T(α), T 2(α), ..., T l � 1(α). Por la minima-
lidad del grado de g(x) se tiene que estos elementos son linealmente independien-
tes, de hecho se puede decir algo más; el subespacio W1 � L{α, T(α), T 2(α), ..., T l � 1(α)} 
forma una suma directa con W y el subespacio W 	 W1 es T-invariante de dimen-
sión mayor que la de W. Por hipótesis de inducción, existe un polinomio g1(x) de gra-
do � n � dim(W 	 W1) � n � dim(W ) � dim(W1) tal que g1(T)(V) ⊆ W 	 W1. 
Por otro lado, se tiene g(T )(W1) ⊆ W; esto y la hipótesis sobre la invariancia de W 
bajo T implican:
g(T )g1(T )(V ) ⊆ g(T)(W) 	 g(T)(W1) ⊆ W
Como W1 tiene dimensión l y deg(g1(x)) � n � dim(W 	 W1) � n � dim(W) � dim(W1), 
concluimos que deg(g(x)g1(x)) � n � dim(W), terminando la demostración.
Teorema 6.1.2. Sea V un espacio vectorial de dimensión n, T : V → V un operador y 
mT(x) su polinomio mínimo, entonces deg(mT(x)) � n.
Demostración. Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, el resultado es claro, pues 
si α es un generador de V y T es un operador, entonces T(α) = aα, por lo que T – aI 
es el operador cero en V, es decir, x – a es el polinomio mínimo de T. Otra forma de 
argumentar este caso es notando que n = n2 y aplicando que en general, el polinomio 
mínimo tiene grado a lo más n2.
Supongamos que n 
 1 y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales 
de dimensión menor que n. Sea α ∈ V \ {0}, entonces el conjunto {α, T(α), ..., T n(α)} 
es linealmente dependiente, por lo que existen escalares a0, a1 . . ., an, no todos cero, 
tales que a0α 	 a1T(α) 	 · · · 	 anT
n(α) � 0. Sea T1 :� a0I 	 a1T 	 · · · 	 anT
n y U � NT1 
núcleo de T1.
Si U � V, entonces T1 es el operador cero, por lo que el polinomio mínimo de T tie-
ne grado � n.
Supongamos U � V, como α ∈ U, se tiene que U es un subespacio propio de V, es 
decir, no cero y tampoco V. También se tiene que U es un subespacio invariante, 
pues si β ∈ U entonces T(β) ∈ U.
Sea g(x) el polinomio mínimo de T restringido a U, es decir, g(T)(U) es el subespa-
cio cero. Por hipótesis de inducción, deg(g(x)) � dim(U). Aplicando el lema anterior 
se tiene que existe un polinomio h(x) tal que h(T)(V) ⊆ U y deg(h(x)) � n � dim(U). De 
todo esto se concluye que el operador g(T)h(T) es el operador cero y deg(g(x)h(x)) � n, 
por lo que el polinomio mínimo de T tiene grado a lo más n, probando el teorema.
El siguiente teorema jugará un papel crucial en lo que sigue de la discusión. Antes 
de continuar recordaremos lo que signifi ca la suma directa de más de dos subespacios.
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