Álgebra Lineal Mora (155)

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Álgebra lineal
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Dado un espacio vectorial V y una colección W1, W2, ..., Wk de subespacios de V se 
defi ne la suma de estos subespacios como:
W1 	 W2 	 · · · 	 Wk � {α1 	 α2 	 · · · 	 αk | αi ∈Wi, para i � 1, 2, ..., k}
Si se cumple la condición: α1 	 α2 	 · · · 	 αk � 0, implica que cada αi � 0, diremos 
que los subespacios forman una suma directa y en este caso usaremos la notación:
W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk :� {α1 	 α2 	 · · · 	 αk | αi ∈Wi, para i � 1, 2, ..., k}
Por ejemplo, en R3 los subespacios W1 � {(t, t, � t) : t ∈ R}, W2 � {(u, u/2, u) : u ∈ 
R} y W3 � {(s, �s, s) : s ∈ R} forman una suma directa, pues dados (t, t, �t) ∈ W1, (u, u/2, 
u) ∈ W2 y (s,�s, s) ∈ W3 tales que (t, t, �t) 	 (u, u/2, u) 	 (s,�s, s) � (0, 0, 0), entonces se 
tiene el sistema de ecuaciones:
t 	 u 	 s � 0
t 	 u/2 � s � 0
�t 	 u 	 s � 0
y claramente la única solución de este sistema es t � u � s � 0. Note que cada uno de 
los subespacios del ejemplo tiene dimensión uno. Discuta la siguiente pregunta, dado 
n 
 2, ¿cómo deben ser los subespacios de dimensión uno en Rn para que formen 
suma directa?
Una manera alternativa de formular el concepto de suma directa es: los subespa-
cios W1, W2, ..., Wk forman una suma directa ⇔ para cada i � 1, 2, ..., k se cumple:
Wi ∩ Wjj i�
∑⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 � {0}
Ejercicio 6.1.1. Demuestre que las dos formulaciones de suma directa son equivalentes.
Teorema 6.1.3. (Descomposición primaria). Sea V un espacio vectorial de dimen-
sión n, T un operador en V y mT(x) � p1
r1
 
(x) p2
r2 (x) · · · pk
rk (x) la factorización del poli-
nomio mínimo de T en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo del operador Si � pi
ri (T), 
entonces:
 1. V � W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk.
 2. Cada W1 es T-invariante.
 3. El operador Si tiene por polinomio mínimo a pi
ri (x).
Demostración. Para cada i, sea fi(x) � ∏j i� pj
rj(x). De la defi nición de los polinomios
f1(x), f2(x), ..., fk(x) se tiene que son primos relativos, por lo que existen polinomios g1(x), 
g2(x), ..., gk(x) tales que:
 f1(x)g1(x) 	 · · · 	 fk(x)gk(x) � 1 1(6.6)
Defi namos Ti :� fi(T)gi(T). Se verifi ca directamente lo siguiente:
 1. T1 	 T2 	 · · · 	 Tk � I, el operador identidad.
 2. Si i � j, entonces TiTj � 0.
 3. Para todo i � 1, 2, ..., k se tiene Ti
2 � Ti.