Álgebra Lineal Mora (156)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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 1 Un campo es un conjunto no vacío en el que están defi nidas una suma y un producto que satisfacen las mismas pro-
piedades que la suma y producto de los números reales.
De la parte 1 mencionada antes se tiene T1(V ) 	 T2(V ) 	 · · · 	 Tk(V ) � V. La pri-
mera conclusión del teorema se tendrá si probamos que Ti(V ) � Wi y que los subespa-
cios Ti(V) forman una suma directa.
Sea β ∈ Ti(V ), es decir, β � Ti(α) � fi(T )gi(T )(α) para algún α ∈ V, entonces Si(β) � 
pi
ri (T )(β) � pi
ri (T )fi(T )gi(T )(α) � m(T )gi(T )(α) � 0, probando que β ∈ Wi. 
Recíprocamente, sea α ∈ Wi; como T1 	 T2 	 · · · 	 Tk � I, entonces α � T1(α) 	 
T2(α) 	 · · · 	 Tk(a). También se tiene que pi
ri (x) divide a fj(x) para todo j � i, entonces 
Tj(α) � fj(T)gj(T)(α) � 0, de lo que se tiene α � Ti(α) ∈ Ti(V).
Ahora mostraremos que Ti(V ) ∩ 
T Vj
j i
( )
�
∑ � {0} . Sea α ∈ Ti(V ) ∩ T Vjj i ( )�∑
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, en-
tonces, α � Ti(γ) � Tj jj i
( )α
�
∑⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. Aplicando Ti a esta ecuación y usando la propiedad 
2 enunciada antes se tiene Ti(α) � Ti
2(γ) � 
j i�
∑TiTj(αj) � 0, ahora usando la propiedad 3 
se tiene 0 � Ti(α) � Ti
2(γ) � Ti(γ) � α, como se afi rmó, fi nalizando la prueba de la pri-
mera parte del teorema.
La segunda parte del teorema se tiene de manera directa usando que T conmuta 
con pi
ri (T ).
Para probar la parte tres, note que pi
ri (T ) es el operador cero en Wi por lo que el 
polinomio mínimo del operador inducido por T en Wi, divide a pi
ri (x). Por otro lado, si 
h(x) es cualquier otro polinomio tal que h(Ei) � 0, con Ei la restricción de T a Wi, en-
tonces h(T )fi(T ) es el operador cero, por lo que m(x) � pi
ri (x)fi(x) divide a h(x)fi(x), es 
decir pi
ri (x) divide a h(x), probando el teorema.
Corolario 6.1.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión fi nita sobre cualquier 
campo,1 T un operador en V. Entonces T es singular ⇔ el cero es raíz del polinomio 
mínimo de T.
Demostración. Supongamos que el cero es raíz del polinomio mínimo de T, en-
tonces xe exactamente divide al polinomio mínimo de T, para algún e � 1. Por el teo-
rema anterior, el núcleo de T e es un sumando no cero de V, por lo que el núcleo de T 
es no cero.
Recíprocamente, sea W el núcleo de T; claramente W es T-invariante de dimen-
sión positiva, entonces el polinomio mínimo de T restringido a W es x y divide al po-
linomio mínimo de T, es decir, el cero es raíz del polinomio mínimo de T.
Corolario 6.1.2. Sea V un espacio vectorial de dimensión fi nita sobre cualquier 
campo, T un operador en V. Entonces T tiene un subespacio invariante de dimensión 
uno ⇔ el polinomio mínimo de T tiene un factor lineal.
Demostración. Sea W un subespacio invariante de dimensión uno, entonces T � cI 
es el operador cero en W, para algún c; de esto se tiene que x � c es el polinomio 
mínimo de T restringido a W, por lo que x � c divide al polinomio mínimo de T.
Recíprocamente, si mT(x) tiene un factor lineal, digamos x � c, sea (x � c)
e la po-
tencia exacta de x � c que divide al polinomio mínimo. Por el teorema anterior, el 
núcleo de (T � cI)e es un subespacio invariante no cero de V, entonces el núcleo de 
T � cI es no cero y cualquier elemento no cero de éste genera un subespacio invarian-
te de dimensión uno.
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