Álgebra Lineal Mora (157)

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Álgebra lineal
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Lema 6.1.2. Sean V un espacio de dimensión fi nita, T : V → V un operador y W un 
subespacio T-invariante. Dado α ∈ V, existe un único polinomio de mínimo grado y mó-
nico, g(x), tal que g(T)α ∈ W. Si f(x) es otro polinomio tal que f(T)α ∈ W, entonces g(x) 
divide a f(x).
Demostración. Como el polinomio mínimo de T satisface mT(T)α � 0 ∈ W, enton-
ces podemos tomar un polinomio mónico de mínimo grado y mónico que satisface la 
condición requerida. Denotemos por g(x) a este polinomio y sea f(x) otro polinomio 
que satisface f(T)α ∈ W. Por el algoritmo de la división, existen polinomios q(x) y r(x) 
tales que:
f(x) � q(x)g(x) 	 r(x), con r(x) � 0 o deg(r(x)) � deg(g(x))
De la ecuación anterior se tiene f(T)α � q(T)g(T)α 	 r(T)α. Como g(T)α ∈ W y 
W es T-invariante, entonces q(T)g(T)α ∈ W, por lo que r(T)α ∈ W. La elección de g(x) 
y la condición deg(r(x)) � deg(g(x)) implican que r(x) � 0, probando que g(x) divide a 
f(x). Si g(x) y g1(x) son dos polinomios mónicos de mínimo grado tales que g(T)α ∈ W 
y g1(T)α ∈ W, por lo probado antes, estos polinomios se dividen mutuamente, enton-
ces son iguales.
Ejercicio 6.1.2. ¿Qué relación hay entre los lemas 6.1.1 y 6.1.2?
Defi nición 6.1.4. Sean V, T, W y α como en el lema anterior, al polinomio mónico 
de menor grado del que se habla allí se le llama el T-anulador de α respecto a W. En 
caso que W � {0}, simplemente le llamaremos el T-anulador de α y lo denotaremos por 
ann (α, x).
Lema 6.1.3. Sean V un espacio de dimensión fi nita, T : V → V un operador, β ∈ V\ {0}. 
Entonces la dimensión del subespacio generado por {β, T(β), T2(β), ...,} es igual al grado 
de ann (β, x).
Demostración. Sea ann (β, x) � xk 	 ak � 1x
k – 1 	 · · · 	 a1x 	 a0; demostraremos 
que una base del espacio generado por {β, T(β), T 2(β), ...,} es {β, T(β), T 2(β), ..., T k – 1(α)}. 
La condición ann (β, T) (β) � 0, implica que T k(β) pertenece al subespacio generado 
por {β, T(β), T 2(β), ..., T k – 1(α)}. Por inducción se demuestra que para cada i � 1, 2, 
3... el elemento T k 	 i(β) pertenece al espacio generado por {β, T(β), T 2(β), ..., T k � 1(α)} 
mostrando con esto que {β, T(β), T 2(β), ..., T k � 1(α)} genera el mismo subespacio que 
{β, T(β), T2(β), ...,}.
Falta mostrar que {β, T(β), T 2(β), ..., T k � 1(α)} es linealmente independiente. Esto 
se tiene de la minimalidad del grado de ann (β, x).
Defi nición 6.1.5. Sean V un espacio de dimensión fi nita, T : V → V un operador y 
β ∈ V. Al subespacio generado por {β, T(β), T2(β), ..., } le llamaremos el subespacio T-cí-
clico generado por β y le denotaremos por C(β, T).
Teorema 6.1.4. Sea V un espacio de dimensión n sobre cualquier campo (los reales, 
los complejos o cualquier otro), T un operador en V con polinomio mínimo mT(x) � p
l(x), 
p(x) irreducible de grado r. Entonces r divide a n.
Demostración. Aplicaremos inducción sobre la dimensión de V. Si V tiene di-
mensión uno, entonces el polinomio mínimo de T es irreducible de grado uno y la 
conclusión del teorema se tiene. Podemos suponer que V tiene dimensión mayor que 
uno y que el resultado es cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión me-
nor que la de V.
Sea α ∈ V \ {0}; por el lema 6.1.2, ann (α, x) divide a p1(x), por lo que ann (α, x) � 
plα (x), con lα � l. Si lα � l para cada α, entonces en particular lαi � l para cada αi ∈ {α1, 
α2. . ., αn} � B, base de V. Sea m � max{lα1, lα2, ..., lαn} � l, entonces se tiene p
m(T)(αi) � 0,