Álgebra Lineal Mora (158)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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 2 El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado positivo con coefi cientes en los núme-
ros complejos admite por lo menos una raíz. Un corolario de este teorema establece que los polinomios irreducibles 
con coefi cientes reales son lineales o cuadráticos.
para todo i � 1, 2, ... n. De aquí obtenemos que pm(T) anula a cualquier combinación 
lineal de los elementos α1, α2, ..., an; de esto se concluye que p
m(T) � 0, contradicien-
do que el polinomio mínimo de T es pl(x). Del argumento anterior se tiene que existe 
un α ∈ V tal que ann (α, x) � pl(x). Para este α, sea W � C(α, T). Por el lema 6.1.3, la di-
mensión de W es rl.
Si W � V, hemos concluido la demostración, en caso contrario sea U un subes-
pacio T-invariante maximal que contiene a W y diferente de V. Tenemos que el poli-
nomio mínimo de T restringido U es una potencia de p(x). Aplicando la hipótesis de 
inducción a U se tiene que r divide a su dimensión.
Sea α ∈ V \ U, entonces el polinomio de mínimo grado, h(x) que satisface h(T)(α) ∈ 
U, divide a pl(x), lema 6.1.2, por lo que h(x) � pk(x), para algún k. La condición sobre 
el grado de h(x) implica que W1 :� L {α, T(α), ..., T kr � 1(α)} tiene dimensión kr; esta 
misma condición implica que U y W1 forman suma directa; como ambos son T-inva-
riantes, entonces U 	 W1 también es T-invariante y la maximalidad de U implica que 
V � U ⊕ W1. De esta ecuación se tiene dim(V) � dim(U) 	 dim(W1). Como r es factor 
de cada uno de estos sumandos, entonces r es factor de dim(V), probando el teorema.
Corolario 6.1.3. Sea V un espacio vectorial de dimensión fi nita sobre cualquier cam-
po, T un operador en V, mT(x) � p1
r1
 
(x) p2
r2 (x) · · · pk
rk (x) la factorización del polinomio 
mínimo de T y V � W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk la descomposición garantizada en el teorema 
6.1.3. Entonces el grado de pi(x) divide a dim Wi.
Demostración. Cada Wi es T-invariante y el polinomio mínimo de T restringido a 
Wi es pi
ri (x). La conclusión se tiene del teorema anterior.
Defi nición 6.1.6. Sean V un espacio de dimensión n sobre cualquier campo, T : V → V 
un operador, mT(x) � p1
r1
 
(x) p2
r2 (x) · · · pk
rk (x) la factorización del polinomio mínimo de T 
como producto de irreducibles. Defi nimos el polinomio característico de T como fT(x) :�
(�1)n p1
d1
 
(x) p2
d2 (x) · · · pk
dk (x), en donde di � 
dim Wi
deg pi(x)
 .
Observación 6.1.1. El grado de fT(x) es igual a la dimensión de V.
Teorema 6.1.5 (Cayley-Hamilton). Sea V un espacio de dimensión n, T un operador 
en V. Entonces T es un cero de su polinomio característico.
Demostración. De los teoremas 6.1.2 y 6.1.3 se tiene que el polinomio mínimo de T 
divide al polinomio característico. La conclusión sigue inmediatamente.
Teorema 6.1.6. Sea V un espacio vectorial sobre los reales de dimensión n � 1, T un 
operador en V. Entonces, T tiene un subespacio invariante de dimensión uno o dos.
Demostración. Sea α ∈ V \ {0}, entonces el conjunto {α, T(α), ..., Tn(α)} es lineal-
mente dependiente, es decir, existen escalares a0, a1 ..., an, no todos cero, tales que 
a0α 	 a1T(α) 	 · · · 	 anT
n(α) � 0. Sea p(x) � a0 + a1x 	 · · · 	 anx
n. Note que la hipóte-
sis sobre α garantiza que p(x) tiene grado positivo. Por el teorema fundamental del ál-
gebra,2 p(x) se factoriza como producto de factores lineales y cuadráticos, es decir, 
p(x) � p1(x)p2(x) · · · pt(x), con cada pi(x) lineal o cuadrático.
Como p(T) es singular, entonces al menos uno de los pi(T) también es singular. Si 
pi(x) � ax 	 b, con a � 0, entonces existe un β � 0 tal que aT(β) 	 bβ � 0, de esto con-
cluimos que el subespacio generado por β es invariante. Si pi(x) � ax
2 	 bx 	 c, con 
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