Álgebra Lineal Mora (159)

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Álgebra lineal
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a � 0, entonces existe un β � 0 tal que aT 2(β) 	 bT(β) 	 cβ � 0. De esto se tiene que 
el subespacio generado por {β, T(β)} es invariante y tiene dimensión uno o dos, termi-
nando la prueba del teorema. En las siguientes líneas probaremos algo más preciso: el 
subespacio generado por {β, T(β)} tiene dimensión dos, pues si este subespacio tuvie-
se dimensión uno, entonces el polinomio mínimo de T restringido a éste sería lineal y 
dividiría a pi(x) � ax
2 	 bx 	 c, lo cual es imposible, pues pi(x) es irreducible.
Teorema 6.1.7. Sea V un espacio de dimensión impar sobre los reales, T un operador 
en V. Entonces T tiene un subespacio invariante de dimensión uno.
Demostración. Sea m(x) � p1
r1
 
(x) p2
r2 (x) · · · pk
rk (x) la factorización del polinomio 
mínimo de T en factores irreducibles. Por el Teorema Fundamental del Álgebra, cada 
pi(x) tiene grado uno o dos.
Si k � 1, aplicando el teorema 6.1.4 concluimos que m(x) es potencia de un polino-
mio lineal, digamos m(x) � (x � c)l, entonces el núcleo de T � cI es no cero, concluyén-
dose la prueba en este caso.
Si k 
 2, sea V � W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk, la descomposición que garantiza el teorema 
de la descomposición primaria, teorema 6.1.3. Este teorema también garantiza que 
cada Wi es T-invariante. Como V tiene dimensión impar, entonces al menos uno de 
W1, W2, ..., Wk tiene dimensión impar, menor que la de V; haciendo inducción sobre el 
subespacio apropiado, se tiene la conclusión del teorema.
6.2. Valores y vectores característicos
De los resultados anteriores sabemos que los factores irreducibles del polinomio mí-
nimo y característico de un operador son los mismos, por lo que tienen las mismas 
raíces. Por lo común, se formula la defi nición de valor característico en términos del 
polinomio característico, nosotros la formulamos usando al polinomio mínimo.
Defi nición 6.2.1. Si T es un operador en V, a las raíces del polinomio mínimo de T les 
llamaremos valores característicos de T.
Con este lenguaje el corolario 6.1.2 establece que un valor característico c de T 
tiene asociado un subespacio invariante de dimensión uno, y a cualquier generador 
de este subespacio le llamaremos un vector característico asociado a c. Lo anterior se 
puede formular diciendo que c es un valor característico de T si existe α � 0 tal que 
T(α) � cα. Recíprocamente, cada subespacio invariante de dimensión uno tiene aso-
ciado un valor característico.
Defi nición 6.2.2. Si T es un operador en V, diremos que T es diagonalizable si existe 
una base de V que consiste de vectores característicos de T.
Una forma equivalente de enunciar la defi nición anterior es: T es diagonalizable ⇔ 
existe una base de V en la que T se representa por medio de una matriz diagonal.
El polinomio mínimo de una matriz se defi ne de forma análoga a como se hace 
para un operador.
Ejercicio 6.2.1. Demuestre que los polinomios mínimos de matrices que representan 
al mismo operador son iguales.
Teorema 6.2.1. Sea V un espacio de dimensión n, T un operador en V. Entonces T es 
diagonalizable ⇔ el polinomio mínimo de T es producto de factores lineales diferentes.
Demostración. Supongamos que T es diagonalizable, entonces existe una base de V 
que consiste de vectores característicos de T. Respecto a esta base, T se representa por 
medio de una matriz diagonal. Mostraremos que el polinomio mínimo de una matriz 
diagonal es producto de factores lineales diferentes. En efecto, si los elementos de la 
	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.2. Valores y vectores característicos