Álgebra Lineal Mora (160)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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diagonal de la matriz A son a1, a2, ..., an, de los cuales los únicos diferentes son a1, a2 ..., 
ar, entonces mT(x) � (x � a1)(x � a2) · · · (x – ar) es el polinomio mínimo de A. Esto se 
debe a que mT(A) es producto de matrices diagonales, por lo cual también es diagonal; 
cada elemento de la diagonal de mT(A) es de la forma (ai � a1)(ai � a2) · · · (ai � ar) � 
0. Como el polinomio mínimo divide a cualquier otro que tiene a A por raíz, entonces 
mT(x) debe ser el polinomio mínimo.
Recíprocamente, supongamos que el polinomio mínimo de T es mT(x) � (x � c1) (x 
– c2) · · · (x – ck), con ci � cj para i � j. Por el teorema 6.1.3, V � W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk, con 
Wi el núcleo del operador T � ciI, es decir, Wi consiste de vectores característicos de T
asociados a ci. Sea Bi una base de Wi, entonces B � U
i
k
�1
Bi es una base de V que consiste
de vectores característicos, es decir, T es diagonalizable.
Lema 6.2.1. Sean V un espacio de dimensión fi nita, T : V → V un operador y W � V 
un subespacio T-invariante. Supongamos que el polinomio mínimo de T, mT(x) tiene to-
das sus raíces en R, entonces existe α ∈ V \ W tal que T(α) � cα ∈ W, con c raíz del poli-
nomio mínimo de T.
Demostración. Sea β ∈ V \ W y g(x) el T-anulador de β respecto a W, entonces 
g(x) divide a mT(x). Como mT(x) � (x � c1)
r1 (x � c2)
r2 · · · (x – ck)
rk, con todos los cj ∈ R, 
y g(x) lo divide, entonces g(x) � (x � c1)
s1 (x � c2)
s2 · · · (x � ck)sk, con sj � rj para todo 
j. También se tiene que g(x) tiene grado positivo, por lo cual podemos suponer que 
s1 
 0, así que g(x) � (x – c1)h(x); de esto último se tiene g(T)(β) � (T � c1I)h(T)(β) ∈ W. 
Como g(x) es de mínimo grado tal que g(T)(β) ∈W, entonces h(T)(β) � α ∉ W es el ele-
mento buscado.
Defi nición 6.2.3. Sean V un espacio de dimensión fi nita, T : V → V un operador. Se 
dice que T es triangulable si existe una base de V en la cual T se representa por una ma-
triz triangular.
Teorema 6.2.2. Sea V un espacio de dimensión n, T un operador en V. Entonces T es 
triangulable ⇔ el polinomio mínimo de T es producto de factores lineales.
Demostración. Supongamos que el polinomio mínimo se factoriza como mT(x) � 
(x � c1)
r1 (x � c2)
r2 · · · (x � ck)
rk. Aplicando el lema anterior con W0 � {0} se tiene que 
existe α1 � 0 tal que T(α1) � cα1, con c raíz de mT(x). Si n 
 1, entonces continúa el pro-
ceso con W1, el espacio generado por α1 que es claramente T-invariante. Continuando 
este proceso se obtiene una base de V, en la cual T se representa por una matriz trian-
gular. (Explique esto último.)
Recíprocamente, supongamos que T es triangulable, entonces existe una base de 
V, en la cual T se representa por una matriz triangular, con entradas en la diagonal a11, 
a22, ..., ann. Supongamos que de estos elementos solamente r de ellos son diferentes, 
sin perder generalidad podemos suponer que éstos son a11, a22, ..., all, entonces (jus-
tifi que esta afi rmación) el polinomio mínimo de T es mT(x) � (x � a11)
r1 (x � a22)
r2 · · · 
(x � all)
rl, para algunos enteros positivos r1, r2, ..., rl. 
Lema 6.2.2. Si V es un espacio de dimensión fi nita, T : V → V un operador, α y β 
elementos de V tales que ann (α, x) y ann (β, x) son primos relativos, entonces ann (α 	 
β, x) � ann (α,x)ann (β, x).
Demostración. Con las hipótesis sobre α y β mostraremos que los subespacios 
cíclicos generados por α y β forman una suma directa, es decir, se cumple: C(α, T) ∩ 
C(β, T) � {0}. Si γ ∈ C(α, T) ∩ C(β, T) \ {0}, ann (γ, x) tiene grado positivo y γ � f1(T)(α) � 
f2(T)(β), para algunos polinomios f1(x) y f2(x). De esta ecuación se concluye que 
ann (α, T)(γ) � ann (β, T)(γ) � 0, por lo que ann (γ, x) divide a ann (α, x) y a ann (β, x), 
contradiciendo que son primos relativos.
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