Álgebra Lineal Mora (161)

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Álgebra lineal
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Por evaluación se verifi ca que ann (α, T)ann (β, T)(α 	 β) � 0. Por lo que ann (α 	 
β, x) divide a ann (α, x)ann (β, x). También tenemos ann (α 	 β, T)(α 	 β) � ann (α 	 β, 
T)(α) 	 ann (α 	 β, T)(β) � 0, es decir, ann (α 	 β, T)(α) � �ann (α 	 β, T)(β) ∈ C(α, T) 
∩ C(β, T) � {0}. De esto concluimos que ann (α, x) y ann (β, x) dividen a ann (α 	 β, x). 
Como ann (α, x) y ann (β, x) son primos relativos, su producto también divide a ann (α 
	 β, x). De lo probado antes se concluye que ann (α 	 β, x) � ann (α, x)ann (β, x).
Sea V un espacio de dimensión fi nita, α ∈ V y T : V → V un operador, se tiene que 
ann (α, x) divide al polinomio mínimo de T. De esto se concluye que existe un α0 ∈ V 
tal que deg(ann (α0, x)) � deg(ann (β, x)) para todo β ∈ V. El siguiente lema establece 
una relación más precisa entre ann (α0, x) y ann (β, x).
Lema 6.2.3. Con las hipótesis y notación anteriores se tiene: ann (β, x) divide a ann 
(α0, x) para todo β ∈ V.
Demostración. Podemos representar a los anuladores de α y β como producto de 
polinomios irreducibles, de manera precisa. Sean ann (a0, x) � p1
e1(x)p2
e2(x) · · · pr
er(x) y 
ann (β, x) � p1
a1(x)p2
a2(x) · · · pr
ar(x). Si la conclusión del lema fuese falsa, entonces para
algún i, ai 
 ei. Sean, γ1 � p1
e1(T)(α) y γ2 � 
ann (β)
pi
ai (T)(β). Es claro que el T-anulador de
γ1 es 
ann (α0, x)
pi
ei (x) y el T-anulador de γ2 es pi
ai (x). Estos polinomios son primos relativos.
Aplicando el lema 6.2.2 se tiene que el T-anulador de γ1 	 γ2 es 
ann (α0, x)
pi
ei (x) pi
ai (x), que
tiene grado mayor que ann (α0, x), contradiciendo la elección de α0.
Lema 6.2.4. Sean, V un espacio de dimensión fi nita, T : V → V un operador. Entonces 
V tiene un subespacio T-cíclico de dimensión igual al grado del polinomio mínimo de T.
Demostración. Demostraremos algo más; existe α0 ∈ V cuyo T-anulador es igual al 
polinomio mínimo de T; por tanto, la conclusión se tendrá del lema 6.1.3.
Sea {α1, α2, ..., αn} una base de V y α0 como en la discusión anterior. Aplicando el 
lema 6.2.3 se tiene que ann (αi, x) divide a ann (α0, x), lo cual implica ann (α0, T)(αi) � 
0 para todo i � 1, 2, ..., n. De esto se concluye que ann (α0, T) � 0, por lo que necesaria-
mente, mT(x) � ann (α0, x), probando el lema.
Teorema 6.2.3. Sea V un espacio de dimensión fi nita, T un operador en V, y β ∈ V tal 
que ann (β, x) � mT(x). Sea C(β, T) el subespacio T-cíclico generado por β, U un subes-
pacio T-invariante y g : U → C(β, T) una transformación lineal tal que T conmuta con g. 
Entonces g se puede extender a una transformación lineal g1 : V → C(β, T) que conmuta 
con T.
Demostración. Si U � V no hay nada que demostrar, por lo que podemos suponer 
la existencia de α1 ∈ V \ U. Defi namos U1 � U 	 C(α1, T). Sea s(x) el T-anulador de α1 
respecto a U, es decir, s(T)(α1) ∈ U. Como m(T)(α1) � 0 ∈ U, entonces s(x) divide a mT(x), 
por lo que mT(x) � s(x)h(x). De la defi nición de s(x) se tiene que g(s(T)(α1)) � u(T)β 
para algún u(x). La hipótesis sobre la conmutatividad de g y T implica h(T)g(s(T)α1) � 
g(h(T)s(T)(α1)) � g(0) � 0, de lo cual se tiene que el T-anulador de g(s(T)α1) en C(β, 
T) divide a h(x), por lo que h(T)(g(s(T)(α1))) � h(T)(u(T)β) � 0, y de esto se tiene que 
mT(x) divide a h(x)u(x), es decir, h(x)u(x) � mT(x)q(x) �s(x)h(x)q(x), de lo que se tiene 
u(x) � s(x)q(x), y de esto se concluye que g(s(T)(α1)) � s(T)q(T)β. Sea β0 � q(T)β. Para 
todo α ∈ U, defi namos g1(α 	 r(T)α1) :� g(α) 	 r(T)β0. Demostraremos que la defi ni-
ción de g1 es consistente en el sentido que si α 	 r(T)α1 � α′ 	 r1(T)α1 implica g(α) 	 
r(T)β0 � g(α′) 	 r1(T)β0. La condición α 	 r(T)α1 � α′ 	 r1(T)α1 lleva a que α′ � α �