Álgebra Lineal Mora (162)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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[r(T) � r1(T)]α1 ∈ U, por lo que s(x) divide a r(x) � r1(x), es decir, r(x) � r1(x) � s(x)l(x), 
para algún l(x). De lo anterior se tiene:
 g([r(T) � r1(T)]α1) � g(s(T)l(T))α1
 � l(T)g(s(T)α1)
 � l(T)s(T)q(T)β
 � l(T)s(T)β0
 � (r(T) � r1(T))β0
Por otro lado, g([r(T) � r1(T)]α1) � g(α � α′) � g(α) � g(α′), de esto junto con lo an-
terior se obtiene g(α) 	 r(T)β0 � g(α′) 	 r1(T)β0, como se afi rmó. Se verifi ca de manera 
directa que g1 conmuta con T. La demostración termina en a lo más tantos pasos como 
la dimensión de V.
Teorema 6.2.4. (Descomposición cíclica). Sea V un espacio de dimensión fi nita, T 
un operador en V. Entonces V � W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk, en donde Wi es T-cíclico con T-anu-
lador3 mi(x) y éstos satisfacen mi(x) divide a mi �1(x) para todo i ∈ {2, 3, ..., k} y m1(x) es el 
polinomio mínimo de T.
Demostración. Aplicando el lema 6.2.4 se tiene que existe α1 ∈V, cuyo anulador es el 
polinomio mínimo de T. Sea W1 el espacio T-cíclico generado por α1. Aplicando el teore-
ma anterior con U � W1 y g � I, identidad, se tiene que existe una transformación lineal 
g1 : V → W1 que conmuta con T. Esta condición garantiza que el núcleo de g1 es un subes-
pacio T invariante. Sea N2 tal núcleo, mostraremos que V es la suma directa de W1 y N2.
Dado α ∈ V se tiene g1(α � g1(α)) � g1(α) � g1(g1(α)). Como g1(α) ∈ W1 y g1 restrin-
gido a W1 es la identidad, entonces g1(g1(α)) � g1(α), es decir α �g1(α) ∈ N2 y de esto se 
concluye que V � W1 	 N2. Si α ∈ W1 ∩ N2, entonces α � g1(α) � 0, probando con esto 
que V es la suma directa de W1 y N2. Ahora aplicamos el mismo proceso al subespacio 
N2, probando primeramente que existe un α2 ∈ N2 cuyo anulador es el polinomio míni-
mo de T restringido a N2. Si este polinomio lo denotamos por m2(x), claramente se tiene 
que m2(x) divide a m1(x) y N2 � W2 ⊕ N3 con W2 el subespacio T-cíclico generado por 
α2, entonces V � W1 ⊕ W2 ⊕ N3. Este proceso termina y produce la descomposición 
deseada.
El siguiente teorema concluye la discusión sobre la descomposición cíclica de un 
espacio vectorial de dimensión fi nita, estableciendo la unicidad. Este resultado es un 
caso particular del teorema que se tiene para módulos fi nitamente generados sobre 
dominios de ideales principales, lo enunciamos sin demostración.
Teorema 6.2.5. (Unicidad de la descomposición cíclica). Sea V un espacio de dimen-
sión fi nita, T un operador en V. Supongamos que V � W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk � U1 ⊕ U2 ⊕ 
· · · ⊕ Ul, en donde Wi y Uj son T-cíclicos para cada i � 1, 2, ..., k y para cada j � 1, 
2, ..., l; con anuladores mi(x) y nj(x), respectivamente. Los anuladores satisfacen: mi(x) 
divide a mi�1(x) para todo i ∈ {2, 3, ... k}; nj(x) divide a nj�1(x) para todo j ∈ {2, 3, ..., l}. 
Entonces k � l y mi(x) � ni(x) para todo i � 1, 2, ..., k.
Defi nición 6.2.4. Sea p(x) � c0 	 c1x 	 c2x
2 	 · · · 	 cl�1x
l�1 	 xl un polinomio. Se 
defi ne la matriz:
 3 Como Wi es T-cíclico, al T-anulador de un generador le llamamos el T-anulador de Wi.
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