Álgebra Lineal Mora (163)

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Álgebra lineal
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A(p) :� 
0 0 · · · 0 �c0
1 0 · · · 0 �c1
0 1 · · · 0 �c2
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 ·
 
 
0 0 · · · 1 �cl�1
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y le llamamos la matriz asociada a p(x).
Observación 6.2.1. La matriz A(p) puede ser considerada en la siguiente forma. Sea 
{α1, α2, · · · , αl} una base de R
l y T : Rl � Rl el operador defi nido por T(αi) � αi 	 1, i � 1, 2, 
..., (l � 1) y T(αl) � �c0α1 � c1α2 � · · · – cl�1αl�1. Entonces A(p) es la matriz que representa 
a T respecto de la base dada.
Ejercicio 6.2.2. Demuestre que el polinomio mínimo de la matriz A(p) es p(x).
Corolario 6.2.1. Sea A una matriz n � n. Entonces existe P no singular tal que:
P�1AP � 
A1 0 · · · 0 0
0 A2 · · · 0 0
0 0 · · · 0 0
 · ·
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0 0 · · · 0 Ak
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 (6.8)
en donde cada una de las matrices Ai es de la forma (6.7). Más aún, esta representación 
de A es única. Si mi(x) es el polinomio mínimo de Ai, entonces m1(x) es el polinomio mí-
nimo de A y mi 	 1(x) divide a mi(x) para todo i � 1, 2, ..., k – 1.
Defi nición 6.2.5. Sea A una matriz cuadrada. La representación de A dada por (6.8) 
se le llama la forma racional de A. Si m1(x), ..., mk(x) son los polinomios mínimos de las 
matrices A1, A2, ..., Ak respectivamente, a ésos se les llaman los factores invariantes de A.
Corolario 6.2.2. Dos matrices cuadradas son similares ⇔ tienen la misma forma 
racional.
Defi nición 6.2.6. Si T es un operador en un espacio V, a los factores invariantes de 
cualquier matriz que represente a T se les llama los factores invariantes de T.
6.2.1. Calculando el polinomio mínimo
En esta parte presentamos un algoritmo que determina el polinomio mínimo de una 
matriz.
Sea A una matriz n � n. Por el corolario 6.2.1, existe una matriz P no singular tal que:
P�1AP � 
A1 0 · · · 0 0
0 A2 · · · 0 0
0 0 · · · 0 0
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0 0 · · · 0 Ak
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en donde cada una de las matrices de la diagonal son de la forma (6.7).
	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.2. Valores y vectores característicos
	6.2.1. Calculando el polinomio mínimo