Álgebra Lineal Mora (164)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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De esto se tiene:
P�1AP � xI � 
A1�xI 0 · · · 0 0
0 A1�xI · · · 0 0
0 0 · · · 0 0
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 ·
 
 
0 0 · · · 0 A1�xI
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 (6.9)
en donde I representa a la matriz identidad del orden adecuado en cada caso. Para 
cada bloque Ai � xI, mostraremos que por medio de operaciones elementales en las fi las 
y columnas, éste se puede llevar a una matriz diagonal que en la entrada (1,1) tiene a su 
polinomio mínimo, mi(x) y en las restantes entradas de la diagonal tiene unos. 
Para facilitar la notación podemos suponer que:
Ai � 
0 0 · · · 0 �c0
1 0 · · · 0 �c1
0 1 · · · 0 �c2
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0 0 · · · 1 �cl�1
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en donde mi(x) � x
l 	 cl � 1x
l � 1 	 · · · 	 c1x 	 c0 representa a su polinomio mínimo.
Escribiendo explícitamente a la matriz Ai � xI se tiene:
Ai � xI � 
�x 0 · · · 0 �c0
1 �x · · · 0 �c1
0 1 · · · 0 �c2
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0 0 · · · 1 �cl�1�x
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Multiplicando la segunda fi la por x y sumándola a la primera se obtiene la matriz:
B1 � 
0 �x2 · · · 0 �c0�c1x
1 �x · · · 0 �c1
0 1 · · · 0 �c2
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0 0 · · · 1 �cl�1�x
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Multiplicando la tercera fi la de B1 por x
2 y sumándola a la primera resulta la ma-
triz B2, que en la primera fi la tiene ceros excepto en la tercera y última posiciones, cu-
yas entradas allí son �x3 y �c0 � c1x � c2x
2, respectivamente. Las restantes coinciden 
con las de B1.
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