Álgebra Lineal Mora (165)

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Álgebra lineal
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Multiplicando ahora la cuarta fi la de B2 por x
3 y sumándola a la primera, se obtiene 
la matriz B3, que en la primera fi la tiene ceros, excepto en la cuarta y última posicio-
nes, cuyas entradas son �x4 y �c0 � c1x � c2x
2 � c3x
3, respectivamente. Las fi las res-
tantes coinciden con las de B1. Continuando de esta forma l � 1 veces se obtiene una 
matriz Bl � 1 que en la entrada (1, l) tiene a �p(x) � �c0 � c1x 	 · · · 	 cl � 1x
l � 1 � xl, en 
las restantes entradas de la primera fi la tiene ceros y las entradas de las fi las restan-
tes coinciden con las de B1. Explícitamente:
Bl � 1 � 
0 0 · · · 0 �p(x)
1 �x · · · 0 �c1
0 1 · · · 0 �c2
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0 0 · · · 1 �cl�1�x
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Aplicando operaciones elementales adecuadas (¿cuáles?) en las columnas de Bl – 1, 
se obtiene:
B � 
0 0 · · · 0 �p(x)
1 0 · · · 0 0
0 1 · · · 0 0
 · ·
 ·
 
 
1 0 · · · 0 0
· ·
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Multiplicando la última columna de B por �1 y trasladándola a la primera, la ma-
triz B se transforma en:
C � 
p(x) 0 · · · 0 0
0 1 · · · 0 0
0 0 · · · 0 0
 · ·
 ·
 
 
0 0 · · · 0 1
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como se afi rmó.
Note que las operaciones elementales que se aplicaron en el bloque Ai � xI de (6.9) 
no afectan a ninguno de los bloques restantes y en cada uno se puede aplicar el mis-
mo procedimiento. En resumen, hemos probado que la matriz P�1 (A � xI)P, y por 
ende A � xI, es equivalente a una matriz diagonal. De forma más precisa, existen ma-
trices inversibles Q y R con entradas en los polinomios tales que: