Álgebra Lineal Mora (166)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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Q(A � xI)R � 
m1(x) 0 · · · 0 0 0 · · · 0
0 m2(x) · · · 0 0 0 · · · 0
0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
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 mk(x) 0 0 · · · 0
0 0 · · · 0 1 0 · · · 0
0 0 · · · 0 0 1 · · · 0
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0 0 · · · 0 0 0 · · · 1
en donde mi 	 1(x) divide a mi(x) para todo i � 1, 2, ..., k � 1 y m1(x) es el polinomio mí-
nimo de A.
Para describir un algoritmo que permite calcular los factores invariantes de A hace 
falta una defi nición y un teorema.
Defi nición 6.2.7. Sea N una matriz cuyas entradas son polinomios. Diremos que se 
encuentra en forma normal de Smith si satisface:
 1. Todo elemento fuera de la diagonal principal es cero.
 2. En la diagonal principal de N aparecen en orden los polinomios f1, f2 . . . , fl y sa-
tisfacen que fj divide a fj + 1 para todos j � 1, 2, ..., l � 1.
El siguiente teorema lo presentamos sin demostración, éste y lo probado antes pro-
veen de un algoritmo para determinar los factores invariantes de cualquier matriz, en 
particular permiten calcular el polinomio mínimo.
Teorema 6.2.6. Sea B una matriz con entradas en los polinomios con coefi cientes en 
un campo. Entonces, B es equivalente a una única matriz en forma normal de Smith.
En esta última parte de la sección, las matrices tienen entradas en el conjunto de 
los polinomios con coefi cientes en los reales o los complejos. Por esta razón, precisa-
remos el tipo de operaciones elementales permitidas cuando las entradas de las matri-
ces son polinomios.
 1. Intercambiar fi las o columnas.
 2. Multiplicar una fi la (columna) por un polinomio y sumarla a otra fi la (columna).
 3. Multiplicar una fi la por un polinomio constante no cero (éstos son los únicos 
polinomios que tienen inverso multiplicativo).
Algoritmo 6.2.14
Requiere: matriz cuadrada A.
 1. Construya la matriz A1 � A � xI.
 2. Con operaciones elementales en las fi las y columnas de A1 se obtiene B � diag{p(x), 
C}, en donde p(x) es el máximo común divisor de los elementos de la primera fi la 
y la primera columna de A1, y C es cuadrada.
 4 El interesado en obtener el código del algoritmo implementado en Maple, favor de solicitarlo al autor por correo elec-
trónico a la dirección: barrera@uaeh.edu.mx.
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