Álgebra Lineal Mora (168)

Vista previa del material en texto

Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
153
Multiplicando la segunda columna de A5 por (1 � x) y sumándola a la tercera se 
obtiene:
A6 � 
1 0 0
0 0 �1	(1�x)3
0 �1 0
Multiplicando las columnas dos y tres de A6 por –1 e intercambiando las fi las dos y 
tres se obtiene:
A7 � 
1 0 0
0 1 0
0 0 (x�1)3	1 
. Con este proceso hemos obtenido la siguiente infor-
mación:
 1. El polinomio mínimo de A es (x � 1)3 	 1 � x(x2 � 3x 	 3) � x3 � 3x2 	 3x.
 2. La matriz A es diagonalizable, pues su polinomio mínimo tiene raíces diferentes.
 3. La forma racional de A es: 
0 0 0
1 0 �3
0 1 3 
.
 4. La matriz A es singular.
Ejercicio 6.2.3. Si m1(x), ..., mk(x) son los factores invariantes de A, ¿cómo se obtiene 
el polinomio característico de A?
6.3. Forma canónica de Jordan
Sea V un espacio de dimensión fi nita, T un operador en V y mT(x) � p1
e1 (x) p2
e2 (x) · · · 
pr
er (x), la representación del polinomio mínimo de T como producto de irreducibles. 
Por el teorema 6.1.3 (teorema de la descomposición primaria) se tiene:
V � W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk, con Wi � Vp
i
ei
(T)
También sabemos que el polinomio mínimo de T restringido a Wj es pj
ej (x). Apli-
cando el teorema 6.2.4 (teorema de la descomposición cíclica) a cada Wj se tiene que 
Wj � W1j ⊕ W2j ⊕ · · · ⊕ Wij j, en donde cada Wij es T-cíclico con anulador pj
eij (x); los 
exponentes satisfacen ej � e1j � e2j � · · · � eij j.
Defi nición 6.3.1. Los polinomios py
eij (x) se llaman divisores elementales de T.
Supongamos que algún pj(x) es lineal y que el anulador de Wij es (x � cj)
eij . Si v es 
un vector cíclico de Wij entonces:
{v, (T – cjI)v, ..., (T – cjI)
eij�1}
es una base.
153
	Álgebra Lineal
	Capítulo 6 Eigenteoría: estructura de operadores
	6.3. Forma canónica de Jordan