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Álgebra lineal 154 En efecto, como la dimensión de Wij es eij, basta demostrar que el conjunto pro- puesto es linealmente independiente. Sea: a0v a1(T � cjI)v · · · al(T � cjI) l v � 0 (6.10) con l � eij � 1. Como (T � cjI) eij v � 0, entonces aplicando (T � cjI) l en la ecuación 6.10 se tiene a0(T � cjI) l v � 0 y como (T � cjI) l v � 0, entonces a0 � 0. Continuando en esta forma se concluye que todos los coefi cientes en la citada ecuación son cero. La matriz de T restringida a Wij respecto a la base {v, (T � cjI)v, ..., (T � cjI) eij�1} se obtiene aplicando T a cada elemento. T(v) � cjv (T � cjI)v T(T � cjI)v � (T � cjI)(T(v)) � (T � cjI)(cjv (T � cjI)v) � cj(T � cjI)v (T � cjI) 2v · · · T(T � cjI) m v � (T � cjI) m(cjv (T � cjI)v) � cj(T � cjI) m v (T � cjI) m 1 v · · · T((T � cjI) eij�1(v)) � cj(T � cj) eij�1(v) De estas ecuaciones se tiene que la matriz asociada a la restricción de T en Wij es: cj 0 · · · 0 0 0 1 cj · · · 0 0 0 0 1 · · · 0 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · 1 cj 0 0 0 · · · 0 0 cj (6.11) consecuentemente, existe una base de Wj respecto de la cual la matriz asociada a T restringida a Wj es diagonal por bloques con cada bloque de la forma (6.11), llamado bloque de Jordan. Si el polinomio mínimo se expresa como producto de factores linea- les, entonces el anulador en cada Wij es de la forma (x � cj) eij y procediendo como en el caso anterior se tiene que la restricción de T a cada Wj es diagonal por bloques con cada bloque de la forma (6.11). Resumiendo, hemos demostrado el siguiente: Teorema 6.3.1. (Forma canónica de Jordan). Sea V un espacio de dimensión fi nita, T un operador en V. Supongamos que el polinomio mínimo de T se expresa como m(x) � (x � c1) e1 (x � c2) e2 · · · (x � ck) ek. Entonces existe una base de V respecto de la cual T se representa por una matriz de la forma J � diag{J1, ..., Jk}, con cada Jm a la vez diagonal por bloques: Jm � diag{J1m,..., Jimm} y cada Jrm un bloque de Jordan de orden erm, los cua- les satisfacen em � e1m � e2m � · · · � ermm.
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