Álgebra Lineal Mora (170)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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La formulación del teorema anterior para matrices es:
Corolario 6.3.1. Sea A una matriz cuadrada con entradas en cualquier campo. Su-
pongamos que su polinomio mínimo se factoriza como m (x) � (x � c1)
e1 (x � c2)
e2 · · · 
(x � ck)
ek, entonces A es similar a una matriz de la forma J � diag{J1, ..., Jk}, en donde 
Jm � diag{J1m, ..., Jrmm} y cada Jlm un bloque de Jordan de orden elm, los cuales satisfacen 
em � e1m � e2m � ermm.
Defi nición 6.3.2. A la matriz J del corolario anterior se le llama la forma canónica 
de Jordan de A.
Observación 6.3.1. La forma canónica de Jordan de una matriz A queda comple-
tamente descrita por sus valores característicos y por los órdenes de los bloques de 
Jordan. Más precisamente, si los valores característicos de A son {c1, c2, ..., ck} y los órde-
nes de los bloques de Jordan son {(e11, e21, ..., ei11), (e12, e22, ..., ei22), ..., (e1k, e2k, ..., ei kk )}, 
entonces la forma canónica de Jordan de A está únicamente determinada por el coro-
lario anterior.
Ejemplo 6.3.1. Supongamos que una matriz A tiene valores característicos {2, 4, �1} 
y órdenes de bloques de Jordan {(3, 2, 1), (2, 2), (2)}. Entonces la forma canónica de 
Jordan de A es J � diag{J11, J21, J31, J12, J22, J13}, en donde:
J11 � 
2 0 0
1 2 0
0 1 2
, J21 � 
2 0
1 2
 , J31 � (2), J12 � J22 � 
4 0
1 4
J13 � 
�1 0
1 �1
, de forma explícita:
J � 
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 �1
Ejercicio 6.3.1. Escriba los divisores elementales de la matriz del ejemplo anterior.
Ejercicio 6.3.2. Sea A una matriz 2 � 2. Describa todas las posibles formas canóni-
cas de Jordan de A.
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